Mòdul lliure

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Si a l'estructura d'espai vectorial hom substitueix el cos d'escalars per un anell, l'estructura obtinguda és la de mòdul. Naturalment, moltes de les propietats es perden en aquest canvi i l'estructura de mòdul lliure és la que més s'acosta a la d'espai vectorial. Resulta significatiu que, per definir-la, només calgui reproduir el fet que qualsevol homomorfisme d'espais vectorials queda determinat quan se'n coneixen les imatges dels elements d'una base.

Posem això en una notació adequada: si i són espais vectorials i és una base de , una aplicació informa quant a quina és la imatge de cada element de la base de i només d'això. Però aleshores, ha quedat perfectament determinat un homomorfisme de manera que si és la injecció natural, el següent diagrama

Diagrama

és commutatiu. La definició del -mòdul lliure sobre el conjunt de generadors explota aquest fet exhaustivament.

Definició[modifica | modifica el codi]

Siguin un anell commutatiu amb unitat i un conjunt. El -mòdul lliure sobre el conjunt de generadors , denotat , és l'únic -mòdul proveït d'una aplicació que compleix que, per qualsevol altre -mòdul i qualsevol aplicació , hi ha un únic homomorfisme de mòduls, que fa que el següent diagrama

Mòdul lliure

sigui commutatiu, això és, que .

Unicitat[modifica | modifica el codi]

Comencem per veure que, si és un homomorfisme de mòduls que fa , aleshores és la identitat. En efecte, en el diagrama de la dreta

Unicitat

la commutativitat és òbvia i la unicitat establerta per la definició per a del diagrama de l'esquerra obliga que .

Sigui ara un altre mòdul lliure sobre el conjunt de generadors . Tenim els següents diagrames commutatius:

Unicitat

o sigui,

que, per substitució, dóna

Ara bé, segons l'observació inicial, ha de ser

i, per tant, i són inverses l'una de l'altra i, en conseqüència, els dos mòduls lliures, i són isomorfs. A més, per la condició d'unicitat, no hi ha cap altre isomorfisme que respecti les aplicacions i : tenim, doncs, que aquest isomorfisme és únic.

Generadors. Bases[modifica | modifica el codi]

El conjunt genera el mòdul lliure , això és, qualsevol submòdul que contingui és exactament igual a . A més, el conjunt és lliure, és a dir, els seus elements són linealment independents.

Per veure-ho, considerem les aplicacions

i la projecció canònica . Aleshores, els dos diagrames

Generadors

són òbviament commutatius i, de la unicitat, en resulta , és a dir, que la projecció canònica és nul·la i, per tant, que .

La independència lineal dels elements de es pot establir així: per a un element determinat , considerem l'aplicació

En considerar l'anell com a -mòdul, hi ha el morfisme induït al mòdul lliure que fa . Prenem ara qualsevol suma finita

Tenim:

i, com que això s'esdevé per qualsevol índex , resulta que i la independència lineal queda demostrada. Aleshores, és una base del mòdul lliure .

Inversament, tot -mòdul proveït d'una base , és a dir, d'un conjunt de generadors lliure, és un mòdul lliure sobre aquest conjunt de generadors. En efecte, primer definim l'aplicació

i ara, si és un altre -mòdul i és una aplicació qualsevol de a , l'aplicació

és, trivialment, un homomorfisme de a i el següent diagrama

Bases

és commutatiu.

En particular, si l'anell és un cos, aleshores és un espai vectorial sobre i, com a tal, té almenys una base. En conseqüència, tots els espais vectorials són lliures sobre cadascuna de les seves bases.

En realitat, allò que descriu aquest apartat és que un homomorfisme entre -mòduls, el domini del qual és lliure, queda determinat per les imatges dels elements d'una base qualsevol del domini.

A-mòduls lliures de generació finita[modifica | modifica el codi]

Si és un conjunt finit, el -mòdul lliure es diu de generació finita o finitament generat. Hom pot considerar, sense inconvenient, substituir el conjunt , de elements, pel conjunt finit

Aleshores, se sol denotar per , tot expressant que el mòdul lliure sobre el conjunt no és altra cosa que el producte directe de exemplars de l'anell , els elements en són -tuples d'elements de l'anell, amb la suma de -tuples i la multiplicació per elements de l'anell en la forma usual.

Matrius[modifica | modifica el codi]

Si és l'-mòdul lliure amb generadors , i és un altre mòdul lliure, una aplicació determina un únic homomorfisme entre ambdós mòduls. La descripció de l'aplicació se sol fer mitjançant una matriu de files i columnes,

d'elements de l'anell de manera que la columna conté l'expressió de en alguna base d'aquest últim mòdul. La matriu, doncs, determina l'homomorfime de manera unívoca.

En conseqüència, l'àlgebra de les matrius d'elements de l'anell és isomorfa a l'àlgebra dels homomorfismes de a .

Existència[modifica | modifica el codi]

Construirem ara efectivament el -mòdul lliure sobre un conjunt de generadors . El conjunt és el conjunt de totes les funcions que prenen el valor excepte en un nombre finit d'elements de . Clarament, les operacions

fan de un -mòdul.

Però l'aplicació definida per

fa de el -mòdul lliure sobre un conjunt de generadors . En efecte, sigui una aplicació del conjunt sobre un cert -mòdul . L'aplicació

és un morfisme d'-mòduls perquè

i, si és un altre morfisme que fa , aleshores, per a , com que genera ,

i

i, per tant, . En conseqüència, el -mòdul així construït és el -mòdul lliure generat pel conjunt .

Referències[modifica | modifica el codi]