Independència lineal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Sigui S un subconjunt no buit d'un mòdul M sobre un anell K. Hom diu que els elements del conjunt S són linealment independents i el conjunt és lliure o linealment independent, si qualsevol combinació lineal finita d'elements de S de resultat zero és trivial, és a dir, si:

implica que:

Si els elements de S no són linealment independents, hom diu que són linealment dependents i el conjunt S es diu lligat o linealment dependent.

Propietats[modifica | modifica el codi]

  • Tot subconjunt d'un conjunt lliure és lliure.
  • Tot conjunt que contingui un conjunt lligat és lligat.
  • Si el conjunt S conté el zero del mòdul, aleshores és lligat. En efecte, encara que l'element de l'anell no sigui zero, el producte torna a ser el zero del mòdul i pot estar en qualsevol combinació lineal d'elements de S sense alterar-ne el valor.
  • Si un dels elements del conjunt S és combinació lineal finita dels altres, aleshores S és un conjunt lligat. En efecte, si:
es pot posar
i el conjunt S és lligat. La propietat recíproca, però, no és en general certa, si no és que K és un cos.

Independència lineal en espais vectorials[modifica | modifica el codi]

Si K és un cos, aleshores M és un espai vectorial sobre K i la independència lineal de conjunts vectors implica més coses que en el cas més general dels mòduls:

  • Si S és un conjunt lligat, és a dir, que els seus elements són linealment dependents, és aquí equivalent al fet que, almenys, un dels seus elements sigui combinació lineal dels altres. En efecte, si S és lligat, hi ha alguna combinació lineal:
amb no tots els escalars nuls. Es podria dir, sense perdre generalitat, que . Es té:
i, per tant,
  • Si és la dimensió (finita) de l'espai M, qualsevol conjunt de n vectors linealment independents n'és una base.
  • Si n és la dimensió finita de l'espai M, no pot haver-hi conjunts de més de n vectors linealment independents.

Aquestes dues últimes afirmacions són una conseqüència immediata del teorema de substitució de Steinitz.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Considerar el ℤ-mòdul lliure i els seus elements:

Com que es té la combinació lineal 3a + 3b − 2c = 0, els elements a, b i c són linealment dependents. Però cap d'aquests és combinació lineal dels altres dos. En efecte, cadascuna de les expressions:

implica respectivament les igualtats:

que són impossibles de resoldre amb els dins dels nombres enters.