Unió

La unió és una operació entre conjunts. Aquesta operació crea el conjunt, anomenat conjunt unió, format pels elements que pertanyen almenys a un dels conjunts que s'uneixen. S'expressa amb el símbol $\cup$.

Per exemple:

Donat A={a,e,i,s} i B={a,e,f,h}, si definim $C=A\cup B$, llavors C={a,e,i,s,f,h}. $C=A\cup B$ es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.

Propietats de la unió

Propietat idempotent

Quan unim un conjunt amb si mateix, el conjunt unió és el mateix conjunt.

$A\cup A=A$

Element neutre

El conjunt buit $\phi \$ és l'element neutre de la unió.

$A\cup \phi =A$

Propietat commutativa

El conjunt unió resultant és indiferent a l'ordre amb què s'uneixen els conjunts.

$A\cup B=B \cup A$

Propietat associativa

El conjunt unió resultant quan unim més de dos conjunts, és indiferent a la jerarquia amb què es facin les unions.

$A\cup B \cup C=(A\cup B )\cup C=A\cup (B \cup C)$

Unió de complementaris

Si tenim un conjunt A i el seu complementari $\overline{A}$, respecte d'un conjunt R, R és el conjunt unió de A i $\overline{A}$.

$A \cup \overline{A} = R$

Unió de subconjunts

Si unim un conjunt A amb un subconjunt B, el conjunt unió és A.

Si tenim els conjunts A i B tal que $A\supset B$ (A inclou B), llavors $A \cup B=A$

Relacions entre la unió i la intersecció: propietat distributiva

La unió i la intersecció es poden relacionar mitjançant la propietat distributiva. Existeixen dues possibles versions d'aquesta propietat.

• La unió d'un conjunt amb un conjunt intersecció és igual a unir el primer conjunt amb els diferents conjunts que formen el conjunt intersecció, i fer la intersecció entre tots els conjunts unió resultants. És molt més entenedor escrit simbòlicament:

$A \cup ( B \cap C \cap D ...) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (A \cup D)$ ...

• També es pot aplicar aquesta propietat intercanviant les interseccions i les unions:

$A \cap ( B \cup C \cup D ...) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D)$ ...

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Unió