Monoide

En matemàtiques, un monoide és una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composició interna associativa i d'un element neutre. Un monoide és doncs, un magma associatiu i amb element neutre.

Amb altres paraules, $(E,\star ,e)$ és un monoide si:

Quan no es té l'existència de l'element neutre parlem d'un semigrup.

Un monoide es diu simplificable a l'esquerra si

\forall (a,b,c)\in E^{3},a*b=a*c\Rightarrow b=c.

De manera similar, es pot definir simplificable a la dreta.

Submonoide[modifica]

Un submonoide d'un monoide $(E,\star ,e)\,$ és un subconjunt $E'\,$ de $E\,$ que verifica

$\forall (x,y)\in (E')^{2}\,(x\in E'\,i\,y\in E')\Rightarrow (x\star y\in E')$ (estabilitat)
$e\in E'\,$

Monoide xinès.
El conjunt dels naturals, amb l'addició, és un monoide, en què 0 és l'element neutre.
El conjunt dels naturals, amb la multiplicació, és un monoide, d'element neutre 1, que no és simplificable, ja que $(\forall (n,m),0\cdot n=0\cdot m\,)$ .
El conjunt dels naturals múltiples de n per un n fixat, amb l'addició, és un monoide d'element neutre 0.
El conjunt de les paraules formades sobre un alfabet, dotat de concatenació, és un monoide que s'anomena monoide lliure, en què la paraula muda és l'element neutre.
El conjunt de les parts d'un conjunt, dotat de la unió de conjunts, és un monoide, en què el conjunt buit és l'element neutre.
El conjunt de les parts d'un conjunt, dotat de la intersecció de conjunts, és també un monoide, en què l'element neutre és el conjunt total.

Bourbaki, N. Algèbre, Chapitres 1 à 3 (en francès). Paris: Hermann, 1970.
Weisstein, Eric W. «Monoid» (en anglès). MathWorld. Wolfram Research, Inc.. [Consulta: 27 novembre 2013].
Albert, A. A.. Studies in Modern Algebra (en anglès). Washington, DC: Associació Americana de Matemàtiques, 1963.