Producte escalar

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En les matemàtiques, un producte escalar —també conegut com a producte interior o punt— és una operació algebraica entre dos vectors que resulta en un escalar. Aquesta operació permet treballar i estendre les nocions de la geometria euclidiana com ara la norma, l'angle o la distància en espais vectorials de dimensió més gran que tres o sobre el cos del complexos.

Definició del producte escalar[modifica | modifica el codi]

Sigui un espai vectorial real. Un producte escalar a és una forma bilineal simètrica:

definida positiva. És a dir, que compleix

Si és un espai vectorial complex, un producte escalar és una forma sesquilineal hermítica:

definida positiva.


El conjunt format per un espai vectorial i un producte escalar determina una estructura algebraica anomenada espai euclidià. Cal notar que diferents productes escalars sobre un mateix espai vectorial determinen diferents espais euclidians i que conceptes com ara l'angle, la norma euclidiana o la distància depenen del producte escalar definit.

Definició del producte escalar usual o canònic a Rn[modifica | modifica el codi]

Un producte escalar especialment important pel seu ús a la Física i a la Geometria euclidiana és l'anomenat producte escalar usual o canònic sobre l'espai vectorial .

θ és l'angle entre els dos vectors

El producte escalar de dos vectors i pertanyents a és un escalar en R definit com:


On θ és l'angle no orientat entre els dos vectors i i són els mòduls dels vectors.

La notació habitual és el punt per distingir-lo de l'aspa o el circumflex que s'usen per al producte vectorial de dos vectors.

En el cas que els vectors estiguin expressats com a coordenades en una base ortonormal això és, ortogonal i unitària (és a dir, base amb vectors de mòdul = 1 i que són perpendiculars entres si), el producte escalar també pot calcular-se a partir de dites coordenades com:


Per exemple, el producte escalar de dos vectors en [1, 4, -3] i [2, −1, -2] és:


Usant el producte matricial i tractant els vectors columna com matrius n×1, el producte escalar es pot escriure com:


on AT denota la transposada de la matriu A.

Usant l'exemple anterior, això resultaria en una matriu 1×3 (vector fila) multiplicat per un vector 3×1 (que com a multiplicació de matrius resultaria en una matriu 1×1, és a dir un escalar):

Interpretació geomètrica[modifica | modifica el codi]

||•cos(θ) és la projecció escalar de sobre

A l'espai euclidià hi ha una forta relació entre el producte escalar, les longituds dels vectors i l'angle que formen.

De l'equació abans esmentada:

es deriva que l'angle entre els dos vectors és:


Com cos 90° = 0, si els vectors són ortogonals, el seu producte escalar és nul.

El mòdul d'un vector es pot trobar com:


El mòdul correspon a la longitud del vector.

Com és la projecció escalar del vector sobre el vector , el producte escalar es pot entendre com el producte d'aquesta projecció per la longitud de .

Propietats del producte escalar[modifica | modifica el codi]

Commutativa:


Distributiva:


Associativa:

La propietat associativa no té sentit pel producte escalar perquè l'operació és indefinida, ja que és un escalar.

Malgrat tot, el producte escalar té la següent propietat:


on m és un escalar.

El producte escalar és invariant a rotacions dels vectors.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Producte escalar Modifica l'enllaç a Wikidata

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Portal

Portal: Matemàtiques