Producte escalar

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En les matemàtiques, un producte escalar —també conegut com a producte interior o punt— és una operació algebraica entre dos vectors que resulta en un escalar. Aquesta operació permet treballar i estendre les nocions de la geometria euclidiana com ara la norma, l'angle o la distància en espais vectorials de dimensió més gran que tres o sobre el cos del complexos.

Definició del producte escalar[modifica | modifica el codi]

Sigui E un espai vectorial real. Un producte escalar a E és una forma bilineal simètrica:

<\ ,\ >: E \times E \longrightarrow \mathbb{R} \,

definida positiva. És a dir, que compleix

<u,u>\ \geq 0, \forall u \in \mathbb{E}
<u,u>\ = 0 \Leftrightarrow u = \vec{0}

Si E és un espai vectorial complex, un producte escalar és una forma sesquilineal hermítica:

<\ ,\ >: E \times E \longrightarrow \mathbb{C} \,

definida positiva.


El conjunt format per un espai vectorial i un producte escalar determina una estructura algebraica anomenada espai euclidià. Cal notar que diferents productes escalars sobre un mateix espai vectorial determinen diferents espais euclidians i que conceptes com ara l'angle, la norma euclidiana o la distància depenen del producte escalar definit.

Definició del producte escalar usual o canònic a Rn[modifica | modifica el codi]

Un producte escalar especialment important pel seu ús a la Física i a la Geometria euclidiana és l'anomenat producte escalar usual o canònic sobre l'espai vectorial R^n.

θ és l'angle entre els dos vectors

El producte escalar de dos vectors \vec{A} i \vec{B} pertanyents a R^n és un escalar en R definit com:

\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta


On θ és l'angle no orientat entre els dos vectors i |\vec{A}| i |\vec{B}| són els mòduls dels vectors.

La notació habitual és el punt  \cdot per distingir-lo de l'aspa o el circumflex que s'usen pel producte vectorial de dos vectors.

En el cas que els vectors estiguin expressats com a coordenades en una base ortonormal això és, ortogonal i unitària (és a dir, base amb vectors de mòdul = 1 i que són perpendiculars entres si), el producte escalar també pot calcular-se a partir de dites coordenades com:

\vec{A} \cdot \vec{B}=[a_1, a_2, a_3] \cdot [b_1,b_2,b_3]=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3


Per exemple, el producte escalar de dos vectors en \mathbb{R}^3 [1, 4, -3] i [2, −1, -2] és:

\begin{bmatrix}1&4&-3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2&-1&-2\end{bmatrix} = (1)(2) + (4)(-1) + (-3)(-2) = 4.


Usant el producte matricial i tractant els vectors columna com matrius n×1, el producte escalar es pot escriure com:

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{A}^T \mathbf{B} \,


on AT denota la transposada de la matriu A.

Usant l'exemple anterior, això resultaria en una matriu 1×3 (vector fila) multiplicat per un vector 3×1 (que com a multiplicació de matrius resultaria en una matriu 1×1, és a dir un escalar):

\begin{bmatrix}
 1&4&-3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 
 2\\-1\\-2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 4
\end{bmatrix}.

Interpretació geomètrica[modifica | modifica el codi]

|\vec{A}|•cos(θ) és la projecció escalar de  \vec{A} sobre \vec{B}

A l'espai euclidià hi ha una forta relació entre el producte escalar, les longituds dels vectors i l'angle que formen.

De l'equació abans esmentada:

\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta

es deriva que l'angle entre els dos vectors és:

\theta = \arccos \left( \frac {\vec{A} \cdot \vec{B}} {|\vec{A}| \cdot |\vec{B}|}\right)


Com cos 90º = 0, si els vectors són ortogonals, el seu producte escalar és nul.

El mòdul d'un vector es pot trobar com:

|\vec{A}| = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A} }


El mòdul correspon a la longitud del vector.

Com |\vec{A}| cos \theta és la projecció escalar del vector \vec{A} sobre el vector \vec{B}, el producte escalar es pot entendre com el producte d'aquesta projecció per la longitud de \vec{B}.

Propietats del producte escalar[modifica | modifica el codi]

Commutativa:

\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}


Distributiva:

\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{C}


Associativa:

La propietat associativa no té sentit pel producte escalar perquè l'operació (\vec{A} \cdot \vec{B})\cdot \vec{C} és indefinida ja que (\vec{A} \cdot \vec{B}) és un escalar.

Malgrat tot, el producte escalar té la següent propietat:

m (\vec{A} \cdot \vec{B})= (m\vec{A}) \cdot \vec{B}=\vec{A}\cdot(m\vec{B})


on m és un escalar.

El producte escalar és invariant a rotacions dels vectors.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Producte escalar Modifica l'enllaç a Wikidata

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Portal

Portal: Matemàtiques