Siguin un interval de , una aplicació de a , i un punt de .
Si i és un punt d'acumulació de , direm que és contínua en el punt si .
Si i no és un punt d'acumulació de , direm que és contínua per definició.
La definició anterior també es pot formular en termes de distàncies, diem que és contínua en el punt del seu domini si i només si:
És a dir, una funció és contínua quan per qualsevol punt del seu domini podem trobar un interval tal que la seva imatge estigui continguda en un interval tan petit com vulguem al voltant de la seva imatge .
Finalment, en termes de successions tenim la següent propietat: La funció és contínua en el punt si i només si per qualsevol successió
Aquesta propietat s'anomena continuïtat seqüencial de en el punt .
Continuïtat per la dreta i per l'esquerra[modifica]
Suposem que la funció està definida en l'interval tancat i sigui . Es diu que el nombre és el límit per la dreta de en si tal que si compleix que (és dir, està a la dreta de ), aleshores ; en aquest cas, s'escriu i s'utilitza la notació
Es diu que és continua per la dreta en el punt si .
De manera anàloga, per a es defineix el límit per l'esquerra de en el punt i s'escriu
Es diu que és continua per l'esquerra en el punt si .
Propietat. Sigui . Aleshores és contínua en el punt si i només si .
Vegeu més avall la secció discontinuïtats de salt per un exemple de funció on el límit per la dreta i per l'esquerra en un punt no coincideixen.
Sigui un subconjunt del domini d'una funció . Es diu que és contínua en si és contínua en tots el punts d'aquest interval.
És a dir:
,
que equival a què:
és contínua a .
En els extrems de l'interval es compleix i
Evidentment, en la definició el número depèn de , ja que si es fa més petit, pot ser que hàgim de buscar un més petit. Però en aquest apartat cal aclarir que el número també depèn del punt , és a dir, per un mateix valor de , un valor de que serveix per algun punt en concret pot no servir per un altre punt. En general, donat un valor de no existeix un valor de que serveixi per a tots els punts , tot i així, quan aquest valor existeix parlem de continuïtat uniforme.
Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.
Efectivament, per demostrar que és un compacte necessitem veure que, sigui , la successió té alguna successió parcial convergent .
Com que, per hipòtesi és un compacte, existeix alguna successió parcial convergent. Sigui el límit d'aquesta successió , per la definició de continuïtat (definició per successions) tenim que . Però per la definició que hem fet al principi, resultant així que (que és una successió parcial de ) és convergent. I és un compacte.
Efectivament, pel teorema dels compactes si és contínua en el compacte , és compacte. Com que qualsevol compacte és fitat, existiran un suprem () i un ínfim (). Demostrem ara que . En efecte, podem trobar valors tan a prop de com vulguem (si no fos així, podríem trobar una fita superior més petita que , arribant a una contradicció), per tant podem construir una successió que convergeixi a . Com que és un compacte és tancat i per tant, . Sent el màxim del compacte .
De manera anàloga podem trobar valors tan a prop de com vulguem (o arribem a una contradicció), per tant, podem construir una successió . I com que és tancat , sent el mínim d'aquest compacte.
"Si és contínua en un interval tancat, amb (és a dir, no nuls i de signe oposat) on ."
Efectivament, anomenem , sigui el punt central d'aquest interval. Si el teorema queda demostrat. Si , aleshores partim l'interval en els intervals i . Com que i tenen signes oposats, tindrà el mateix signe que un dels dos i tindrà signe oposat que l'altre. Anomenem a l'interval en que tingui signes oposats en els extrems, i definim com el punt central de . De nou repetim el mateix procés, si hem acabat, si no, definim Si per algun interval es compleix que hem acabat, si no tenim definits infinits intervals en els quals pren valors oposats en els extrems.
Notem que es compleix sempre que i la longitud de cada interval és: .
Construïm la successió . Sigui un interval de longitud , aleshores és clar que ja que . Per tant, tal que i, en conseqüència . Per tant, la successió és una successió de Cauchy i per tant és convergent. Denotem . Suposem que , aleshores per continuïtat podem trobar un interval que compleixi que en tot l'interval. Però a partir d'algun subíndex i existeix algun punt de en que (recordem que pren valors de signe oposat en els seus extrems). Igualment, si per continuïtat podem trobar un interval que compleixi que . Però a partir d'algun subíndex i existeix algun punt de en que . Per tant l'única possibilitat és que . Quedant així demostrat el teorema.
"Si és contínua en un interval tancat, amb , i està entre i on ."
Efectivament si està entre i , aleshores i tenen signes oposats. Definim aleshores la funció , com que és contínua en l'interval , és contínua en el mateix interval. Hem dit que i tenen signes oposats, per tant, pel teorema de Bolzano, existeix un punt que compleix que .
Teorema de la continuïtat de la funció inversa[modifica]
"Si és contínua i invertible en un interval és estrictament creixent o decreixent a i és contínua a ."
Efectivament, si és invertible ha de ser injectiva. Per tant, si per a dos punts Suposem que , aleshores, , ja que, si , pel teorema del valor intermedi de Bolzano, existeix algun punt entre que compleix que , però això no pot ser perquè és injectiva. Pel mateix argument no es pot donar el cas que , ja que existiria algun punt que compleix que . Per tant tenim que està entre i .
Considerem ara un punt , és a dir, , pel mateix argument que a dalt podem afirmar que (i, per tant, ). Per tant, podem afirmar que si , és a dir, és estrictament decreixent, si en comptes de suposar al principi que suposem que arribem a la conclusió (després de aplicar exactament el mateix raonament) que és estrictament creixent. Demostrem ara que és contínua a l'interval .
Sigui , hem de demostrar que .
Notem que, en ser contínua i estrictament creixent (decreixent) es compleix que . És a dir, que un punt pertany a l'interval si i només si la seva imatge pertany a l'interval d'extrems i .
Per tant, per a qualsevol podem trobar un tal que
Si , aleshores
Quedant demostrat que la funció és contínua.
Tipus de discontinuïtats de funcions d'una variable real[modifica]
Discontinuïtat asimptòtica (s'ha de corregir)[modifica]
Una funció f(x) presenta una discontinuïtat asimptòtica en
un punt aquan no està definida en aquest punt(ha d'estar definida en el punt per a parlar de continuïtat, només podem referir a punts del domini) i el límit de la funció en aquest punt és de tipus infinit. Es pot donar un dels quatre casos diferents:
Una funció f(x) presenta una discontinuïtat evitable en un punt adel seu domini quan la funció té límit en aquest punt però no coincideix amb el valor de la funció, bé perquè no està definida, bé perquè és diferent:
Per tant, la funció f es podria fer contínua només redefinint f(a).
Exemple: (incorrecte, s'ha de corregir: 2 no és del domini)
Discontinuïtat evitable
Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues[modifica]
La definició esmentada de funció contínua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dos espais topològics; donada una funció entre dos espais topològics, aquesta és contínua si i només si per a tot obert es dona que és un obert de .