Funció contínua és un terme utilitzat en matemàtiques i, en particular, en topologia.
Definició matemàtica per funcions de variables reals[modifica]
Funció contínua en un punt[modifica]
Siguin
un interval de
,
una aplicació de
a
, i
un punt de
.
- Si
i
és un punt d'acumulació de
, direm que
és contínua en el punt
si
.
- Si
i
no és un punt d'acumulació de
, direm que
és contínua per definició.
La definició anterior també es pot formular en termes de distàncies, diem que
és contínua en el punt
si i només si:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\,x\in \,]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(x_{0})|\leq \varepsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8654ca785f223b89706d24fc88a57eb0c645bd95)
És a dir, una funció és contínua quan per qualsevol punt
del seu domini podem trobar un interval tal que la seva imatge estigui continguda en un interval tan petit com vulguem al voltant de la seva imatge
.
Finalment, en termes de successions la funció
és contínua en el punt
si, sigui 

Continuïtat i límits[modifica]
Si
és contínua en
, llavors
.
Si això és cert únicament per a
, es diu que
és contínua a la dreta de
.
De la mateixa forma, si és contínua per a
,
és contínua a l'esquerra de
.
Dir que
és contínua en
significa que aquesta aplicació és contínua a la dreta i a l'esquerra d'aquest punt.
Continuïtat en un interval[modifica]
Es diu que
és contínua en
si és contínua en tots el punts d'aquest interval.
És a dir:
,
que equival a què:
és contínua a
.
- El límit a la dreta de
quan
val
i el límit a l'esquerra quan
val
.
Evidentment, en la definició el número
depèn de
, ja que si
es fa més petit, pot ser que hàgim de buscar un
més petit. Però en aquest apartat cal aclarir que el número
també depèn del punt
, és a dir, per un mateix valor de
, un valor de
que serveix per algun punt en concret pot no servir per un altre punt. En general, donat un valor de
no existeix un valor de
que serveixi per a tots els punts
, tot i així, quan aquest valor existeix parlem de continuïtat uniforme.
Derivabilitat i continuïtat[modifica]
Qualsevol funció derivable en un punt o en un interval, és igualment contínua en aquest punt o interval.
El recíproc és fals.
Per exemple, la funció
(valor absolut de
és una funció contínua a
, en canvi, no és derivable en el punt
.
Funcions usuals[modifica]
Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.
Teoremes sobre funcions contínues[modifica]
Teorema dels compactes[modifica]
"Si
és contínua en un compacte
és compacte."
Efectivament, per demostrar que
és un compacte necessitem veure que, sigui
, la successió
té alguna successió parcial convergent
.
Com que, per hipòtesi
és un compacte, existeix alguna successió parcial
convergent. Sigui
el límit d'aquesta successió
, per la definició de continuïtat (definició per successions) tenim que
. Però per la definició que hem fet al principi,
resultant així que
(que és una successió parcial de
) és convergent. I
és un compacte.
Teorema del màxim i el mínim[modifica]
"Si
és contínua en un compacte
té màxim i mínim."
Efectivament, pel teorema dels compactes si
és contínua en el compacte
,
és compacte. Com que qualsevol compacte és fitat, existiran un suprem (
) i un ínfim (
). Demostrem ara que
. En efecte, podem trobar valors tan a prop de
com vulguem (si no fos així, podríem trobar una fita superior més petita que
, arribant a una contradicció), per tant podem construir una successió
que convergeixi a
. Com que
és un compacte
és tancat i per tant,
. Sent
el màxim del compacte
.
De manera anàloga podem trobar valors tan a prop de
com vulguem (o arribem a una contradicció), per tant, podem construir una successió
. I com que
és tancat
, sent el mínim d'aquest compacte.
Teorema de Bolzano[modifica]
"Si
és contínua en un interval tancat
, amb
(és a dir, no nuls i de signe oposat)
on
."
Efectivament, anomenem
, sigui
el punt central d'aquest interval. Si
el teorema queda demostrat. Si
, aleshores partim l'interval
en els intervals
i
. Com que
i
tenen signes oposats,
tindrà el mateix signe que un dels dos i tindrà signe oposat que l'altre. Anomenem
a l'interval en que
tingui signes oposats en els extrems, i definim
com el punt central de
. De nou repetim el mateix procés, si
hem acabat, si no, definim
Si per algun interval
es compleix que
hem acabat, si no tenim definits infinits intervals en els quals
pren valors oposats en els extrems.
Notem que es compleix sempre que
i la longitud de cada interval és:
.
Construïm la successió
. Sigui
un interval de longitud
, aleshores és clar que
ja que
. Per tant,
tal que
i, en conseqüència
. Per tant, la successió
és una successió de Cauchy i per tant és convergent. Denotem
. Suposem que
, aleshores per continuïtat podem trobar un interval
que compleixi que
en tot l'interval. Però a partir d'algun subíndex
i existeix algun punt de
en que
(recordem que
pren valors de signe oposat en els seus extrems). Igualment, si
per continuïtat podem trobar un interval
que compleixi que
. Però a partir d'algun subíndex
i existeix algun punt de
en que
. Per tant l'única possibilitat és que
. Quedant així demostrat el teorema.
Teorema del valor intermedi de Bolzano[modifica]
"Si
és contínua en un interval tancat
, amb
, i
està entre
i
on
."
Efectivament si
està entre
i
, aleshores
i
tenen signes oposats. Definim aleshores la funció
, com que
és contínua en l'interval
,
és contínua en el mateix interval. Hem dit que
i
tenen signes oposats, per tant, pel teorema de Bolzano, existeix un punt
que compleix que
.
Teorema de la continuïtat de la funció inversa[modifica]
"Si
és contínua i invertible en un interval
és estrictament creixent o decreixent a
i
és contínua a
."
Efectivament, si
és invertible
ha de ser injectiva. Per tant, si per a dos punts 
Suposem que
, aleshores,
, ja que, si
, pel teorema del valor intermedi de Bolzano, existeix algun punt entre
que compleix que
, però això no pot ser perquè
és injectiva. Pel mateix argument no es pot donar el cas que
, ja que existiria algun punt
que compleix que
. Per tant tenim que
està entre
i
.
Considerem ara un punt
, és a dir,
, pel mateix argument que a dalt podem afirmar que
(i, per tant,
). Per tant, podem afirmar que si
, és a dir,
és estrictament decreixent, si en comptes de suposar al principi que
suposem que
arribem a la conclusió (després de aplicar exactament el mateix raonament) que
és estrictament creixent. Demostrem ara que
és contínua a l'interval
.
Sigui
, hem de demostrar que
.
Notem que, al ser
contínua i estrictament creixent (decreixent) es compleix que
. És a dir, que un punt pertany a l'interval
si i només si la seva imatge pertany a l'interval d'extrems
i
.
Per tant, per a qualsevol
podem trobar un
tal que
Si
, aleshores
Quedant demostrat que la funció
és contínua.
Tipus de discontinuïtats de funcions d'una variable real[modifica]
Discontinuïtat asimptòtica[modifica]
Una funció f(x) presenta una discontinuïtat asimptòtica en
un punt a quan no està definida en aquest punt i el límit de la funció en aquest punt és de tipus infinit. Es pot donar un dels quatre casos diferents:
(1)
(2)
(3)
i
(4)
i
La recta x=a s'anomena asímptota vertical.
Exemple:
Discontinuïtat de salt[modifica]
Una funció f(x) presenta una discontinuïtat de salt en un punt a quan els límits laterals en aquest punt no són iguals:
Exemple:
Discontinuïtat evitable[modifica]
Una funció f(x) presenta una discontinuïtat evitable en un punt a quan la funció té límit en aquest punt però no coincideix amb el valor de la funció, bé perquè no està definida, bé perquè és diferent:
Per tant, la funció f es podria fer contínua només redefinint f(a).
Exemple:
Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues[modifica]
Per definició:
contínua a
.
Dels teoremes sobre els límits resulta:
Àlgebra de les funcions contínues[modifica]
Siguin
i
dues funcions contínues en un mateix interval
. Llavors:
(combinació lineal)
(producte)
(quocient)
són funcions contínues a
.
Composició de funcions contínues[modifica]
Si
és contínua a
i
és contínua a
llavors
és contínua a
.
Funcions contínues entre espais topològics[modifica]
La definició esmentada de funció contínua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dos espais topològics; donada una funció
entre dos espais topològics, aquesta és contínua si i només si per a tot obert
es dóna que
és un obert de
.
Enllaços externs[modifica]