Funció contínua

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
«Continuïtat» redirigeix aquí. Vegeu-ne altres significats a «Continuïtat (desambiguació)».

Funció contínua és un terme utilitzat en matemàtiques i, en particular, en topologia.

Definició matemàtica per funcions de variables reals[modifica | modifica el codi]

Funció contínua en un punt[modifica | modifica el codi]

Siguin un interval de , una aplicació de a , i un punt de . Es diu que és contínua en el punt si i només si:

És a dir, una funció és contínua quan per qualsevol punt del seu domini podem trobar un interval tal que la seva imatge estigui continguda en un interval tan petit com vulguem al voltant de la seva imatge .

Continuïtat i límits[modifica | modifica el codi]

Si és contínua en , llavors .

Si això és cert únicament per a , es diu que és contínua a la dreta de .

De la mateixa forma, si és contínua per a , és contínua a l'esquerra de .

Dir que és contínua en significa que aquesta aplicació és contínua a la dreta i a l'esquerra d'aquest punt.

Continuïtat en un interval[modifica | modifica el codi]

Es diu que és contínua en si és contínua en tots el punts d'aquest interval.

És a dir:

,

que equival a què:

  • és contínua a .
  • El límit a la dreta de quan val i el límit a l'esquerra quan val .

Derivabilitat i continuïtat[modifica | modifica el codi]

Qualsevol funció derivable en un punt o en un interval, és igualment contínua en aquest punt o interval.

El recíproc és fals.

Per exemple, la funció (valor absolut de és una funció contínua a , en canvi, no és derivable en el punt .

Funcions usuals[modifica | modifica el codi]

Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.

Tipus de discontinuïtats de funcions d'una variable real[modifica | modifica el codi]

Discontinuïtat asimptòtica[modifica | modifica el codi]

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat asimptòtica en un punt a quan no està definida en aquest punt i el límit de la funció en aquest punt és de tipus infinit. Es pot donar un dels quatre casos diferents:

   (1)          (2)         (3)    i        (4)    i 

La recta x=a s'anomena asímptota vertical.

Exemple:

Discontinuïtat asimptòtica

Discontinuïtat de salt[modifica | modifica el codi]

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat de salt en un punt a quan els límits laterals en aquest punt no són iguals:      

Exemple:

Discontinuïtat de salt

Discontinuïtat evitable[modifica | modifica el codi]

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat evitable en un punt a quan la funció té límit en aquest punt però no coincideix amb el valor de la funció, bé perquè no està definida, bé perquè és diferent:      

Per tant, la funció f es podria fer contínua només redefinint f(a).

Exemple:

Discontinuïtat evitable

Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues[modifica | modifica el codi]

Per definició:

contínua a .

Dels teoremes sobre els límits resulta:

Àlgebra de les funcions contínues[modifica | modifica el codi]

Siguin i dues funcions contínues en un mateix interval . Llavors:

  • (combinació lineal)
  • (producte)
  • (quocient)

són funcions contínues a .

Composició de funcions contínues[modifica | modifica el codi]

Si és contínua a i és contínua a llavors és contínua a .

Funcions contínues entre espais topològics[modifica | modifica el codi]

Article principal: continuïtat (topologia)

La definició esmentada de funció continua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dos espais topològics; donada una funció entre dos espais topològics, aquesta és contínua si i només si per a tot obert es dóna que és un obert de .

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Funció contínua Modifica l'enllaç a Wikidata