Funció contínua

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
«Continuïtat» redirigeix aquí. Vegeu-ne altres significats a «Continuïtat (desambiguació)».

Funció contínua és un terme utilitzat en matemàtiques i, en particular, en topologia.

Definició matemàtica per funcions de variables reals[modifica | modifica el codi]

Funció contínua en un punt[modifica | modifica el codi]

Siguin I un interval de \mathbb R, f una aplicació de I a \mathbb R, i x_0 un punt de I. Es diu que f és contínua en el punt x_0 si i només si:

\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,\,x\in\,]x_0-\delta,x_0+\delta[\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(x_0)|\le \varepsilon\,

És a dir, una funció és contínua quan per qualsevol punt x del seu domini podem trobar un interval tal que la seva imatge estigui continguda en un interval tan petit com vulguem al voltant de la seva imatge f(x).

Continuïtat i límits[modifica | modifica el codi]

Si f és contínua en x_0, llavors \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Si això és cert únicament per a x>x_0, es diu que f és contínua a la dreta de x_0.

De la mateixa forma, si és contínua per a x<x_0, f és contínua a l'esquerra de x_0.

Dir que f és contínua en x_0 significa que aquesta aplicació és contínua a la dreta i a l'esquerra d'aquest punt.

Continuïtat en un interval[modifica | modifica el codi]

Es diu que f és contínua en [a,b] si és contínua en tots el punts d'aquest interval.

És a dir:

\forall x\in[a,b],\,\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,\,y\in\,]x-\delta,x+\delta[\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(y)|\le \varepsilon\,
,

que equival a què:

  • f és contínua a ]a,b[.
  • El límit a la dreta de f(x) quan x \to a val f(a) i el límit a l'esquerra quan x \to b val f(b).

Derivabilitat i continuïtat[modifica | modifica el codi]

Qualsevol funció derivable en un punt o en un interval, és igualment contínua en aquest punt o interval.

El recíproc és fals.

Per exemple, la funció f(x)=|x| (valor absolut de x és una funció contínua a \mathbb R, en canvi, no és derivable en el punt x=0.

Funcions usuals[modifica | modifica el codi]

Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.

Tipus de discontinuïtats de funcions d'una variable real[modifica | modifica el codi]

Discontinuïtat asimptòtica[modifica | modifica el codi]

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat asimptòtica en un punt a quan no està definida en aquest punt i el límit de la funció en aquest punt és de tipus infinit. Es pot donar un dels quatre casos diferents:

   (1)  \scriptstyle{\lim_{x \to a}{f(x)= \infty}}        (2)  \scriptstyle{\lim_{x \to a}{f(x)= -\infty}}       (3)  \scriptstyle{\lim_{x \to a^-}{f(x)= +\infty}}  i \scriptstyle{\lim_{x \to a^+}{f(x)= -\infty}}       (4)  \scriptstyle{\lim_{x \to a^-}{f(x)= -\infty}}  i \scriptstyle{\lim_{x \to a^+}{f(x)= +\infty}}

La recta x=a s'anomena asímptota vertical.

Exemple:

Discontinuïtat asimptòtica

Discontinuïtat de salt[modifica | modifica el codi]

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat de salt en un punt a quan els límits laterals en aquest punt no són iguals:      \lim_{x \to a^-}{f(x)}\neq \lim_{x \to a^+}{f(x)}

Exemple:

Discontinuïtat de salt

Discontinuïtat evitable[modifica | modifica el codi]

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat evitable en un punt a quan la funció té límit en aquest punt però no coincideix amb el valor de la funció, bé perquè no està definida, bé perquè és diferent:      \lim_{x \to a^-}{f(x)} = \lim_{x \to a^+}{f(x)} = \lim_{x \to a}{f(x)}\neq {f(a)}

Per tant, la funció f es podria fer contínua només redefinint f(a).

Exemple:

Discontinuïtat evitable

Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues[modifica | modifica el codi]

Per definició:

f contínua a a \Leftrightarrow \lim_{x \to a}f(x) = f(a).

Dels teoremes sobre els límits resulta:

Àlgebra de les funcions contínues[modifica | modifica el codi]

Siguin f i g dues funcions contínues en un mateix interval I. Llavors:

  • \alpha f + \beta g \quad \forall (\alpha, \beta) \in \R^2 (combinació lineal)
  • f\cdot g (producte)
  • \frac{f}{g}\quad (g \ne 0) (quocient)

són funcions contínues a I.

Composició de funcions contínues[modifica | modifica el codi]

Si f és contínua a I i g és contínua a f(I) llavors  g \circ f és contínua a I.

Funcions contínues entre espais topològics[modifica | modifica el codi]

Article principal: continuïtat (topologia)

La definició esmentada de funció continua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dos espais topològics; donada una funció f:A\longrightarrow B entre dos espais topològics, aquesta és contínua si i només si per a tot obert O\subseteq B es dóna que f^{-1}\left[O\right] és un obert de A.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Funció contínua Modifica l'enllaç a Wikidata