Punt d'acumulació

De Viquipèdia

Dins l'entorn de topologia, el concepte de punt d'acumulació o punt límit d'un conjunt en un espai captura la noció d'estar infinitament proper al conjunt sense necessàriament pertànyer a ell. Generalitza la noció de límit de .

Definició[modifica]

Donat un conjunt i un punt en un espai mètric , diem que és un punt d'acumulació per si qualsevol ε-entorn de sense té intersecció no buida amb .

És a dir, hi ha elements de que estan ε-propers i són diferents de mateix (aquesta restricció no apareix quan es tracta de punts d'adherència). En aquesta definició podem veure que pot estar o no en .

És possible generalitzar el concepte a espais topològics reemplaçant els ε-veïnatges amb conjunts oberts.

Amb símbols[modifica]

Es denota amb al conjunt de punts límit de (també anomenat conjunt derivat), i el podem definir d'acord amb:

Exemple[modifica]

L'interval té com a punts d'acumulació a l'interval .

Un conjunt finit no té punts d'acumulació, ja que no tindria sentit parlar del concepte "infinitament pròxim".

El conjunt de punts d'acumulació en és igual al , ja que és dens a .

no té punt d'acumulació. Per tant, cada punt en és aïllat.

Caracterització de conjunts tancats[modifica]

  • Teorema: és un conjunt tancat sii .

Vàlid en espais mètrics i topològics.

Altres conseqüències[modifica]

Sigui E un subconjunt qualsevol en un espai topològic, llavors tenim:

Si llavors hi ha una successió que convergeix a

Podem interpretar això com que per a cada element p de , el conjunt derivat de E (així també s'anomena el conjunt dels punts d'acumulació), hi ha elements de E que formen una successió convergent cap a p dins de E , encara que el punt ni tan sols hi estigui comprès.

La demostració d'aquesta proposició és bastant natural.

Bibliografia[modifica]

  • Rudin, W. "Principles of Mathematical Analysis". McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054235-X
  • Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach Jr.. Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, p. 5-6. ISBN 0-387-90312-7. 
  • Wolfgang, F. "General Topology". Harrap, 1967, 23.