Espai mètric

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtiques, un espai mètric és un conjunt dotat d'una funció de distància (o mètrica)[1] entre totes les parelles d'elements de . Un espai mètric és un cas particular d'espai topològic, i d'un espai topològic que té associada una distància es diu que és "metritzable".

L'exemple més conegut d'espai mètric és l'espai euclidià tridimensional amb la noció habitual de distància. Altres exemples coneguts són l'esfera equipada amb la distància angular i el pla hiperbòlic. Una mètrica pot correspondre a una noció de distància més metafòrica que no física: per exemple, el conjunt de cadenes de 100 caràcters equipats amb la distància de Hamming, que mesura el nombre de caràcterese que cal canviar per obtenir una cadena a partir d'una altra.

Com que són molt generals, els espais mètrics són una eina que s'utilitza en moltes branques de les matemàtiques. Molts tipus d'objectes matemàtics tenen una noció natural de distància i per tant admeten l'estructura d'un espai mètric, incloses les varietats riemannianes, els espais vectorials normats i els grafs. En àlgebra abstracta, els nombres p-àdics sorgeixen com elements de la compleció d'una estructura mètrica en els nombres racionals. També s'estudien els espais mètrics en si mateixos en els camps de la geometria mètrica[2] i de l'anàlisi en espais mètrics.[3]

Definició formal[modifica]

Sigui un conjunt, el conjunt dels nombres reals. Una distància en és una aplicació:

que verifica :[4][5]

1. no negativitat o separabilitat
2. identitat dels indiscernibles
3. simetria
4. subadditivitat o desigualtat triangular

Un espai mètric és un parell ordenat amb un conjunt i una distància sobre . Als elements de se'ls anomena punts.

Es pot prescindir de l'axioma 1, ja que es pot deduir dels altres 3:

Per la desigualtat triangular
Per la identitat dels indiscernibles
Per la simetria
Tenim la separabilitat

Exemples d'espais mètrics[modifica]

Exemple 1. El conjunt dels nombres reals amb la distància euclidiana .

Exemple 2. Com a conjunt, amb la distància euclidiana . L'exemple 1 és el cas particular n = 1. Per demostrar la desigualtat triangular amb la distància euclidiana, es necessita la Desigualtat de Cauchy-Schwarz.

Exemple 3. Qualsevol conjunt amb la distància . Aquesta distància, anomenada distància discreta, és vàlida per a qualsevol conjunt, demostrant que tot conjunt admet, com a mínim, una mètrica.

Exemple 4. Qualsevol mètrica, per tal d'evitar els valors , permet una reescalació a una mètrica finita, definint, per exemple, , els dos espais mètrics són equivalents des d'un punt de vista topològic.

Caracterització d'un espai mètric[modifica]

Convé definir alguns conceptes que ens permetin caracteritzar un espai mètric, o bé comparar espais mètrics entre si.

Boles obertes[modifica]

Sigui un espai mètric, un punt de , i un nombre real positiu. Es defineix la bola oberta de radi centrada en ,, com el conjunt:

.

És a dir, la bola oberta de radi centrada en conté tots els punts tals que la seva distància al punt és menor que .

Propietats de les boles obertes[modifica]

  1. Sigui . Aleshores, . Dit d'altra manera, donat un punt qualsevol de la bola oberta , és possible trobar un radi prou petit tal que la bola oberta està continguda en .
  2. Siguin i tals que , i sigui qualsevol. Aleshores, . En altres paraules, donades dues boles amb intersecció no buida, és possible prendre un punt de la intersecció i trobar un radi prou petit perquè la bola oberta també està continguda en la intersecció de les altres dues.

Demostracions de les propietats[modifica]

  1. Qualsevol bola oberta conté el seu centre .
  2. Sigui i prenem . Si , es dedueix de la desigualtat triangular que . Així doncs, la distància entre qualsevol i el punt és menor que , i per tant .
  3. Per la propietat (2), existeixen . És suficient prendre .

Entorns[modifica]

Sigui un espai mètric i un punt de . Un subconjunt és un entorn de si existeix un tal que . Menys formalment, un subconjunt és entorn d'un punt si és possible trobar un radi prou petit perquè existeixi una bola centrada en i continguda en .

Oberts (i tancats)[modifica]

Sigui un espai mètric i un subconjunt . Diem que és un obert de si, per a tot existeix tal que . Alternativament, és un obert si és entorn de tots els seus punts. Un tancat és un conjunt tal que el seu complementari és obert.

Propietats dels oberts[modifica]

  1. són oberts
  2. Sigui una família arbitrària d'oberts. Aleshores, és un obert.
  3. Sigui una famïlia finita d'oberts. Aleshores, és un obert.

Demostració de les propietats[modifica]

  1. Donat que no té elements, és obert (tots els seus elements compleixen la definició, ja que no en té). Qualsevol bola oberta, per definició, està continguda en , i per tant, és un obert.
  2. si i només si tal que . Aleshores, com que és un obert, tal que . és un obert ja que .
  3. si i només si , . Com que els són obert, per a cadascun d'ells, tal que . Prenent , es té que , . Per tant, .

Cal notar que en la demostració de la propietat 3, la finitud de la famíia d'oberts es demana per a assegurar l'existència del mínim dels radis. Un contraexemple fàcil per veure que amb una família infinita pot no complir-se la propietat 3 és prendre com a conjunt els nombres reals dotats amb la distància euclidiana, i com a família infinita d'oberts . Aleshores, la intersecció no és un obert.

Propietats dels tancats[modifica]

Són fàcils de demostrar, ja que només cal fer el pas al complementari.

  1. són tancats.
  2. Sigui una família finita de tancats. Aleshores, és un tancat.
  3. Sigui una família arbitrària de tancats. Aleshores, és un tancat.

Oberts (o tancats) en espais topològics[modifica]

Quan es generalitza el concepte d'espai mètric a espai topològic, serà un conjunt de subconjunts de anomenat topologia, al qual se li demana complir les tres propietats anteriors, el que dotarà d'estructura el conjunt . Als elements de la topologia se'ls anomenarà, igualment, oberts (o tancats), ja que per als espais topològics metritzables coincidiran amb els oberts (o tancats) de l'espai mètric respectiu.

Aplicacions contínues[modifica]

Sigui una aplicació entre espais mètrics. Diem que és contínua en si,

.

És a dir, si per tota bola oberta en centrada en , existeix una bola oberta en centrada en i la segona està continguda en la primera.

Direm que una aplicació és contínua si ho és en tots els punts de .

Algunes proposicions i teoremes amb aplicacions contínues[modifica]

Proposició 1. Sigui una aplicació entre espais mètrics. Aleshores, és contínua en si i només si l'antiimatge d'un entorn qualsevol de és un entorn de .

Demostració:

) Suposem que és contínua en . Com que és un entorn de , existeix un tal que . Degut a la continuïtat de en , hi ha un tal que:

.

Per tant, és un entorn de .

) Suposem ara que , essent un entorn qualsevol de , és un entorn de . Com que és un entorn de , és un entorn de . És a dir, hi ha un tal que i per tant és contínua en .

Teorema 1. Sigui una aplicació entre espais mètrics. Aleshores, és contínua en si i només si l'antiimatge d'un obert qualsevol de és un obert de .

La demostració és senzilla mitjançant la proposició 1, ja que un obert és entorn de tots els seus punts.

És important notar, donat aquest teorema, que la continuïtat de les aplicacions entre espais mètrics no depèn directament de la mètrica, sinó dels oberts que produeixen. Així, dues distàncies que produeixin els mateixos oberts, produiran també les mateixes aplicacions contínues. Això mostra que la continuïtat és un concepte topològic i no mètric.

Història[modifica]

L'any 1906, Maurice Fréchet va introduir els espais mètrics en la seva obra Sur quelques points du calcul fonctionnel (Sobre alguns punts del càlcul de funcions)[6] en el context de l'anàlisi funcional: el seu principal interès era el d'estudiar funcions reals d'un espai mètric, generalitzant la teoria de funcions de diverses o fins i tot infinites variables, matèria en què van ser pioners matemàtics com Cesare Arzelà. La idea va ser posteriorment desenvolupada i contextualitzada per Felix Hausdorff en el seu magnum opus Grundzüge der Mengenlehre (Principis de la teoria de conjunts), que també va introduir la idea dels espais topològics de Hausdorff.[7]

Els espais mètrics generals s'han convertit en una part fonamental en el currículum matemàtic.[8] Són exemples notables d'espais mètrics en la recerca matemàtica les varietats riemannianes i els espais vectorials normats, que són el domini de la geometria diferencial i de l'anàlisi funcional, respectivament.[9] La geometria fractal és font d'alguns espais mètrics "exòtics". D'altres han aparegut com a límits en l'estudi d'objectes discrets o suaus, inclosos límits invariants d'escala en física estadística, espais d'Alexandrov que apareixen com a límits de Grómov–Hausdorff de seqüències en varietat riemannianes, i fronteres de Grómov i cons asimptòtics en la teoria geomètrica de grups. Finalment, moltes de les noves aplicacions d'espais mètrics discrets i finits provenen de les ciències de la computació.

Referències[modifica]

  1. Čech, 1969, p. 42.
  2. Burago, Burago i Ivanov, 2001.
  3. Heinonen, 2001.
  4. Burago, Burago i Ivanov, 2001, p. 1.
  5. Gromov, 2007, p. xv.
  6. Fréchet, M. «Sur quelques points du calcul fonctionnel». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 22, 1, December 1906, pàg. 1–72. DOI: 10.1007/BF03018603.
  7. Blumberg, Henry «Hausdorff's Grundzüge der Mengenlehre». Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 6, 1927, pàg. 778–781. DOI: 10.1090/S0002-9904-1920-03378-1.
  8. Rudin, 1976, p. 30.
  9. Per exemple, Burago, Burago & Ivanov 2001, p. xiii:

    ... durant gran part del darrer segle era una creença habitual que "geometria de varietats" bàsicament es reduïa a "anàlisi en varietats". Els mètodes geomètrics es basaven molt en eines diferencials, com es pot suposar a partir del terme "geometria diferencial".

Bibliografia[modifica]

  • Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei. A course in metric geometry. Providence, RI: American Mathematical Society, 2001. ISBN 0-8218-2129-6. 
  • Čech, Eduard. Point Sets. Academic Press, 1969. ISBN 0121648508. 
  • Heinonen, Juha. Lectures on analysis on metric spaces. New York: Springer, 2001. ISBN 0-387-95104-0. 
  • Gromov, Mikhael. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Boston: Birkhäuser, 2007. ISBN 978-0-8176-4582-3. 
  • Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. Third, 1976. ISBN 0-07-054235-X. OCLC 1502474. 
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espai mètric