Espai mètric

En matemàtiques, un espai mètric és un cas particular d'espai topològic, on està definida una distància.

Definició formal

Formalment, un espai mètric és un conjunt $M\,$ amb una funció distància associada, (també anomenada mètrica) $d:M\times M\rightarrow {\mathbb R}\,$.

• ${\mathbb R}\,$ és el conjunt dels nombres reals.
• Als elements del conjunt, se'ls anomena punts.
• Una funció $d\,$ compleix les condicions d'una distància en $M\,$ si $\forall x,y,z\in M\,$:

1. $d(x,y)\geq 0\,$.
2. $d(x,x)=0\,$ '
3. si $d(x,y)=0{\text{ llavors }}x=y\,$
4. $d(x,y)=d(y,x)\,$
5. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)\,$

Sistemes axiomàtics alternatius

• La condició 1 $d(x,y)\geq 0\,$ no és necessària, ja que també es pot veure com una conseqüència de les condicions 4 i 5.
• Qualsevol mètrica, per tal d'evitar els valors $\infty \,$, permet una reescalació a una mètrica finita, definint, per exemple, $\delta (x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}\,$, els dos espais mètrics són equivalents des d'un punt de vista topològic.

Exemples

• En qualsevol conjunt existeix la mètrica discreta: $d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{si }}x=y\\1&{\mbox{si }}x\neq y\end{matrix}}\right.\,$.
• En el conjunt dels nombres reals, la funció dístància $d(x,y)=|x-y|\,$. Distància euclidiana.
• La distància euclidiana, a ${\mathbb {R}}^{n}\,$, o sigui $d({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})={\sqrt {(y_{{1}}-x_{{1}})^{{2}}+...+(y_{{n}}-x_{{n}})^{{2}}}}\,$.
• Qualsevol espai vectorial normat és un espai mètric si definim $d(x,y)=||y-x||\,$.