Espai mètric

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un espai mètric és un cas particular d'espai topològic, on està definida una distància.

Definició formal[modifica | modifica el codi]

Formalment, un espai mètric és un conjunt M\, amb una funció distància associada, (també anomenada mètrica) d:M\times M\rightarrow \mathbb R\,.

  1. d(x,y) \ge 0\,.
  2. d(x,x)=0\, '
  3. si d(x,y)=0\text{ llavors }x=y\,
  4. d(x,y)=d(y,x)\,
  5. d(x,y) \le d(x,z)+d(y,z)\,

Sistemes axiomàtics alternatius[modifica | modifica el codi]

  • La condició 1 d(x,y) \ge 0\, no és necessària, ja que també es pot veure com una conseqüència de les condicions 4 i 5.
  • Qualsevol mètrica, per tal d'evitar els valors \infty\,, permet una reescalació a una mètrica finita, definint, per exemple, \delta (x,y)= \frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}\,, els dos espais mètrics són equivalents des d'un punt de vista topològic.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • En qualsevol conjunt existeix la mètrica discreta: d(x,y)=\left\{\begin{matrix}0,&\mbox{si } x=y\\ 1&\mbox{si } x\ne y\end{matrix}\right.\, .
  • En el conjunt dels nombres reals, la funció dístància d(x,y)=|x-y|\,. Distància euclidiana.
  • La distància euclidiana, a \mathbb {R}^n\,, o sigui d(\mathbf {x} ,\mathbf {y})=\sqrt{(y_{1}-x_{1})^{2}+...+(y_{n}-x_{n})^{2}}\,.
  • Qualsevol espai vectorial normat és un espai mètric si definim d(x,y)=||y-x||\,.