Espai mètric

En matemàtiques, un espai mètric és un cas particular d'espai topològic, on està definida una distància.

Definició formal

Formalment, un espai mètric és un conjunt $M\,$$M\,$ amb una funció distància associada, (també anomenada mètrica) $d:M\times M\rightarrow \mathbb {R} \,$$d:M\times M\rightarrow \mathbb {R} \,$.

• $\mathbb {R} \,$$\mathbb {R} \,$ és el conjunt dels nombres reals.
• Als elements del conjunt, se'ls anomena punts.
• Una funció $d\,$$d\,$ compleix les condicions d'una distància en $M\,$$M\,$ si $\forall x,y,z\in M\,$$\forall x,y,z\in M\,$:

1. $d(x,y)\geq 0\,$$d(x,y)\geq 0\,$.
2. $d(x,x)=0\,$$d(x,x)=0\,$ '
3. si $d(x,y)=0{\text{ llavors }}x=y\,$$d(x,y)=0{\text{ llavors }}x=y\,$
4. $d(x,y)=d(y,x)\,$$d(x,y)=d(y,x)\,$
5. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)\,$$d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)\,$

Sistemes axiomàtics alternatius

• La condició 1 $d(x,y)\geq 0\,$$d(x,y)\geq 0\,$ no és necessària, ja que també es pot veure com una conseqüència de les condicions 4 i 5.
• Qualsevol mètrica, per tal d'evitar els valors $\infty \,$$\infty \,$, permet una reescalació a una mètrica finita, definint, per exemple, $\delta (x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}\,$$\delta (x,y)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}\,$, els dos espais mètrics són equivalents des d'un punt de vista topològic.

Exemples

• En qualsevol conjunt existeix la mètrica discreta: $d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{si }}x=y\\1&{\mbox{si }}x\neq y\end{matrix}}\right.\,$$d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{si }}x=y\\1&{\mbox{si }}x\neq y\end{matrix}}\right.\,$.
• En el conjunt dels nombres reals, la funció distància $d(x,y)=|x-y|\,$$d(x,y)=|x-y|\,$. Distància euclidiana.
• La distància euclidiana a $\mathbb {R} ^{n}\,$$\mathbb {R} ^{n}\,$, o sigui $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}\,$$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}\,$.
• Qualsevol espai vectorial normat és un espai mètric si definim $d(x,y)=||y-x||\,$$d(x,y)=||y-x||\,$.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espai mètric