 |
Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat. |
En matemàtiques, un espai mètric és un conjunt
dotat d'una funció de distància (o mètrica)
entre totes les parelles d'elements de
. Un espai mètric és un cas particular d'espai topològic, i d'un espai topològic que té associada una distància es diu que és "metritzable".
Definició formal[modifica]
Sigui
un conjunt,
el conjunt dels nombres reals. Una distància
en
és una aplicació:
que verifica
:
1.
|
|
no negativitat o separabilitat
|
2.
|
|
identitat dels indiscernibles
|
3.
|
|
simetria
|
4.
|
|
subadditivitat o desigualtat triangular
|
Un espai mètric és un parell ordenat
amb
un conjunt i
una distància sobre
. Als elements de
se'ls anomena punts.
Es pot prescindir de l'axioma 1, ja que es pot deduir dels altres 3:
|
Per la desigualtat triangular
|
|
Per la identitat dels indiscernibles
|
|
Per la simetria
|
|
Tenim la separabilitat
|
Exemples d'espais mètrics[modifica]
Exemple 1. El conjunt dels nombres reals
amb la distància euclidiana
.
Exemple 2. Com a conjunt,
amb la distància euclidiana
. L'exemple 1 és el cas particular n = 1. Per demostrar la desigualtat triangular amb la distància euclidiana, es necessita la Desigualtat de Cauchy-Schwarz.
Exemple 3. Qualsevol conjunt
amb la distància
. Aquesta distància, anomenada distància discreta, és vàlida per a qualsevol conjunt, demostrant que tot conjunt admet, com a mínim, una mètrica.
Exemple 4. Qualsevol mètrica, per tal d'evitar els valors
, permet una reescalació a una mètrica finita, definint, per exemple,
, els dos espais mètrics són equivalents des d'un punt de vista topològic.
Caracterització d'un espai mètric[modifica]
Convé definir alguns conceptes que ens permetin caracteritzar un espai mètric, o bé comparar espais mètrics entre si.
Sigui
un espai mètric,
un punt de
, i
un nombre real positiu. Es defineix la bola oberta de radi
centrada en
,
, com el conjunt:
.
És a dir, la bola oberta de radi
centrada en
conté tots els punts
tals que la seva distància al punt
és menor que
.
Propietats de les boles obertes[modifica]

- Sigui
. Aleshores,
. Dit d'altra manera, donat un punt qualsevol
de la bola oberta
, és possible trobar un radi
prou petit tal que la bola oberta
està continguda en
.
- Siguin
i
tals que
, i sigui
qualsevol. Aleshores,
. En altres paraules, donades dues boles amb intersecció no buida, és possible prendre un punt
de la intersecció i trobar un radi
prou petit perquè la bola oberta
també està continguda en la intersecció de les altres dues.
Demostracions de les propietats[modifica]
- Qualsevol bola oberta conté el seu centre
.
- Sigui
i prenem
. Si
, es dedueix de la desigualtat triangular que
. Així doncs, la distància entre qualsevol
i el punt
és menor que
, i per tant
.
- Per la propietat (2), existeixen
. És suficient prendre
.
Sigui
un espai mètric i
un punt de
. Un subconjunt
és un entorn de
si existeix un
tal que
. Menys formalment, un subconjunt
és entorn d'un punt
si és possible trobar un radi prou petit perquè existeixi una bola centrada en
i continguda en
.
Oberts (i tancats)[modifica]
Sigui
un espai mètric i
un subconjunt
. Diem que
és un obert de
si, per a tot
existeix
tal que
. Alternativament,
és un obert si és entorn de tots els seus punts. Un tancat és un conjunt tal que el seu complementari és obert.
Propietats dels oberts[modifica]
són oberts
- Sigui
una família arbitrària d'oberts. Aleshores,
és un obert.
- Sigui
una famïlia finita d'oberts. Aleshores,
és un obert.
Demostració de les propietats[modifica]
- Donat que
no té elements, és obert (tots els seus elements compleixen la definició, ja que no en té). Qualsevol bola oberta, per definició, està continguda en
, i per tant,
és un obert.
si i només si
tal que
. Aleshores, com que
és un obert,
tal que
.
és un obert ja que
.
si i només si
,
. Com que els
són obert, per a cadascun d'ells,
tal que
. Prenent
, es té que
,
. Per tant,
.
Cal notar que en la demostració de la propietat 3, la finitud de la famíia d'oberts es demana per a assegurar l'existència del mínim dels radis. Un contraexemple fàcil per veure que amb una família infinita pot no complir-se la propietat 3 és prendre com a conjunt els nombres reals dotats amb la distància euclidiana, i com a família infinita d'oberts
. Aleshores, la intersecció
no és un obert.
Propietats dels tancats[modifica]
Són fàcils de demostrar, ja que només cal fer el pas al complementari.
són tancats.
- Sigui
una família finita de tancats. Aleshores,
és un tancat.
- Sigui
una família arbitrària de tancats. Aleshores,
és un tancat.
Oberts (o tancats) en espais topològics[modifica]
Quan es generalitza el concepte d'espai mètric a espai topològic, serà un conjunt de subconjunts de
anomenat topologia, al qual se li demana complir les tres propietats anteriors, el que dotarà d'estructura el conjunt
. Als elements de la topologia se'ls anomenarà, igualment, oberts (o tancats), ja que per als espais topològics metritzables coincidiran amb els oberts (o tancats) de l'espai mètric respectiu.
Aplicacions contínues[modifica]
Sigui
una aplicació entre espais mètrics. Diem que
és contínua en
si,
.
És a dir, si per tota bola oberta en
centrada en
, existeix una bola oberta en
centrada en
i la segona està continguda en la primera.
Direm que una aplicació és contínua si ho és en tots els punts de
.
Algunes proposicions i teoremes amb aplicacions contínues[modifica]
Proposició 1. Sigui
una aplicació entre espais mètrics. Aleshores,
és contínua en
si i només si l'antiimatge d'un entorn qualsevol
de
és un entorn de
.
Demostració:
) Suposem que
és contínua en
. Com que
és un entorn de
, existeix un
tal que
. Degut a la continuïtat de
en
, hi ha un
tal que:
.
Per tant,
és un entorn de
.
) Suposem ara que
, essent
un entorn qualsevol de
, és un entorn de
. Com que
és un entorn de
,
és un entorn de
. És a dir, hi ha un
tal que
i per tant
és contínua en
.
Teorema 1. Sigui
una aplicació entre espais mètrics. Aleshores,
és contínua en
si i només si l'antiimatge d'un obert qualsevol
de
és un obert de
.
La demostració és senzilla mitjançant la proposició 1, ja que un obert és entorn de tots els seus punts.
És important notar, donat aquest teorema, que la continuïtat de les aplicacions entre espais mètrics no depèn directament de la mètrica, sinó dels oberts que produeixen. Així, dues distàncies que produeixin els mateixos oberts, produiran també les mateixes aplicacions contínues. Això mostra que la continuïtat és un concepte topològic i no mètric.