Espai mètric

En matemàtiques, un espai mètric és un cas particular d'espai topològic, on està definida una distància.

Definició formal

Formalment, un espai mètric és un conjunt $M\,$ amb una funció distància associada, (també anomenada mètrica) $d:M\times M\rightarrow \mathbb R\,$.

• $\mathbb R\,$ és el conjunt dels nombres reals.
• Als elements del conjunt, se'ls anomena punts.
• Una funció $d\,$ compleix les condicions d'una distància en $M\,$ si $\forall x,y,z \in M\,$:

1. $d(x,y) \ge 0\,$.
2. $d(x,x)=0\,$ '
3. si $d(x,y)=0\text{ llavors }x=y\,$
4. $d(x,y)=d(y,x)\,$
5. $d(x,y) \le d(x,z)+d(y,z)\,$

Sistemes axiomàtics alternatius

• La condició 1 $d(x,y) \ge 0\,$ no és necessària, ja que també es pot veure com una conseqüència de les condicions 4 i 5.
• Qualsevol mètrica, per tal d'evitar els valors $\infty\,$, permet una reescalació a una mètrica finita, definint, per exemple, $\delta (x,y)= \frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}\,$, els dos espais mètrics són equivalents des d'un punt de vista topològic.

Exemples

• En qualsevol conjunt existeix la mètrica discreta: $d(x,y)=\left\{\begin{matrix}0&\mbox{si } x=y\\ 1&\mbox{si } x\ne y\end{matrix}\right.\,$.
• En el conjunt dels nombres reals, la funció distància $d(x,y)=|x-y|\,$. Distància euclidiana.
• La distància euclidiana a $\mathbb {R}^n\,$, o sigui $d(\mathbf {x},\mathbf {y})=\sqrt{(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots+(y_{n}-x_{n})^{2}}\,$.
• Qualsevol espai vectorial normat és un espai mètric si definim $d(x,y)=||y-x||\,$.