Espai mètric

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un espai mètric és un cas particular d'espai topològic, on està definida una distància.

Definició formal[modifica | modifica el codi]

Formalment, un espai mètric és un conjunt amb una funció distància associada, (també anomenada mètrica) .

  • és el conjunt dels nombres reals.
  • Als elements del conjunt, se'ls anomena punts.
  • Una funció compleix les condicions d'una distància en si :
  1. .
  2. '
  3. si

Sistemes axiomàtics alternatius[modifica | modifica el codi]

  • La condició 1 no és necessària, ja que també es pot veure com una conseqüència de les condicions 4 i 5.
  • Qualsevol mètrica, per tal d'evitar els valors , permet una reescalació a una mètrica finita, definint, per exemple, , els dos espais mètrics són equivalents des d'un punt de vista topològic.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • En qualsevol conjunt existeix la mètrica discreta: .
  • En el conjunt dels nombres reals, la funció distància . Distància euclidiana.
  • La distància euclidiana a , o sigui .
  • Qualsevol espai vectorial normat és un espai mètric si definim .
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espai mètric Modifica l'enllaç a Wikidata