Espai vectorial normat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

A matemàtica un espai vectorial es diu que és normat si s'hi pot definir una norma vectorial. Podem assenyalar els següents fets que ajuden a comprendre la importància del concepte d'espai normat:

Definició[modifica | modifica el codi]

Un espai vectorial V sobre un cos \mathbb{K} en el qual es defineix un valor absolut (generalment \mathbb{R} o \mathbb{C}) es diu que és normat si en ell es pot definir una norma, és a dir, una aplicació ||.||: V\rightarrow\mathbb{R}, que verifica:

  1. No negativitat. Per a tot \vec x de \mathbf{V} la seva norma ha de ser positiva, i serà zero si i només si \vec x és el vector zero:  0 <||\vec x|| si \vec x\neq\vec 0 i ||\vec x||= 0\Longleftrightarrow\vec x =\vec 0 .
  2. Homogeneïtat. Per a tot \vec x de \mathbf{V} i per a tot k de \mathbb{K} se satisfà que ||k\vec x||=|k| · ||\vec x|| on||és el mòdul o valor absolut.
  3. Desigualtat triangular. Per a tots \vec x e \vec y de \mathbf{V} es compleix que  || \vec {x} + \vec {y} || \leq || \vec {x} || + || \vec {y} || .

Generalment es denotarà a  (V ,||) l'espai vectorial normat i quan la norma sigui clara simplement per  V .

Exemples[modifica | modifica el codi]

De dimensió finita[modifica | modifica el codi]

De dimensió infinita[modifica | modifica el codi]

Distància induïda[modifica | modifica el codi]

En tot espai vectorial normat es pot definir la distància  d: V\rightarrow V :

 d (x, y): =||x - y||\,

amb la qual (V, d) és un espai mètric.

Espais vectorials normats de dimensió finita[modifica | modifica el codi]

Es compleixen els següents resultats (que generalment no són certes per a espais de dimensió infinita):

  • Totes les normes definides en l'espai són equivalents, és a dir, defineixen la mateixa topologia. La convergència o divergència d'una successió no depèn de la norma escollida. El resultat no és cert per a espais de dimensió infinita sent sempre hi ha dues normes que no són equivalents.
  • L'espai és complet, és a dir, és un espai de Banach. Com a conseqüència, tot subespai de dimensió finita d'un espai vectorial normat (no necessàriament de dimensió finita) és tancat.
  • Un espai vectorial normat és de dimensió finita si i només si la bola unitat és compacta.
  • Tot funcional lineal és continu. Si l'espai té dimensió infinita, hi ha funcionals lineals no continus.
  • Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunt de l'espai vectorial és compacte si i només si és tancat i acotat.