Espai topològic

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

Els espais topològics són els principals objectes de treball en la disciplina matemàtica de la topologia.[1] Un espai topològic es defineix com un conjunt de punts, juntament amb un conjunt de veïnats per a cada punt, que satisfà un conjunt d'axiomes que relacionen els punts i els veïnats. La definició d'espai topològic es basa en la teoria de conjunts i és la noció més general d'un espai matemàtic que permet la definició de conceptes com la continuïtat, la connexió i la convergència.[2] Altres espais, com varietats i espais mètrics, són especialitzacions d'espais topològics amb estructures i restriccions addicionals.

Definició[modifica | modifica el codi]

Per oberts[modifica | modifica el codi]

És la definició més emprada habitualment. Donat un conjunt qualsevol, considerem un cert subconjunt del conjunt de les parts de . Diem que és una topologia de si es compleix que:

  1. Donada una família arbitrària d'elements de la topologia, , aleshores la seva reunió també hi pertany: .
  2. Donada una família finita d'elements de la topologia , aleshores la seva intersecció també hi pertany .

Un espai topològic és un parell ordenat , format per un conjunt i una topologia .

Dels elements de en direm oberts.

Direm que un subconjunt de és un tancat si el seu complementari és obert, és a dir,

Per tancats[modifica | modifica el codi]

De manera anàloga es pot definir una topologia per tancats. Donat un conjunt qualsevol, considerem un cert subconjunt del conjunt de les parts de . Direm que és un espai topològic si es compleixen:

  1. Donada una família finita d'elements de la topologia , aleshores la seva reunió també hi pertany: .
  2. Donada una família arbitrària d'elements de la topologia , aleshores la seva intersecció també hi pertany .

En aquest cas, als elements de els anomenarem tancats, i direm que és obert si el seu complementari és tancat, és a dir,

Exemples[modifica | modifica el codi]

Topologia trivial (o grollera)[modifica | modifica el codi]

Sigui un conjunt qualsevol, considerem :

  • És evident que .
  • Si prenem famílies arbitràries d'elements de , només tenim una tria; .
  • Finalment, si fem una intersecció finita d'elements de , només podem prendre .

és, doncs, una topologia. Aquesta topologia s'anomena Topologia trivial o grollera. Per a qualsevol altre topologia sobre , tenim que . Diem que és la topologia més grollera (o la menys fina).

Topologia discreta[modifica | modifica el codi]

Sigui un conjunt qualsevol, considerem , el conjunt de les parts de . És a dir, forma part de qualsevol subconjunt de .

  • Donat que i ,
  • Prenent una família arbitrària , .
  • Prenent una família finita , .

Aquesta topologia s'anomena topologia discreta. Per a qualsevol altre topologia sobre , tenim que . Diem que és la topologia més fina.

A partir d'un espai mètric[modifica | modifica el codi]

Qualsevol espai mètric indueix una topologia en . Definim de la següent manera:

.

Diferents espais mètrics poden induir el mateix espai topològic (ja que generen els mateixos oberts). Per exemple, l'espai topològic usual (o euclidià) en és un cas d'espai topològic induït per un espai mètric , però és idèntic a l'espai topològic induït per la distància del màxim .

La topologia discreta és la topologia induïda per la distància discreta.

Aplicacions contínues[modifica | modifica el codi]

La continuïtat d'una aplicació és un concepte essencialment topològic, tot i que s'empra en altres àmbits d'estudi com l'anàlisi. Anem a definir aquest concepte.

Siguin i dos espais topològics, i una aplicació. Direm que és contínua si i només si la seva antiimatge . És a dir, si per a qualsevol obert del conjunt d'arribada, la seva antiimatge és un obert del conjunt de partida.

Interior, adherència i frontera[modifica | modifica el codi]

Interior[modifica | modifica el codi]

Sigui un espai topològic, i un subconjunt de . Anomenem interior de al conjunt . (La unió de tots els oberts que hi estan continguts)

És fàcil veure que l'interior compleix les següents propietats:

  1. , l'interior està contingut en .
  2. , l'interior és un obert de .
  3. Sigui tal que . Aleshores, . És a dir, és el major obert contingut en .

I també:

Adherència[modifica | modifica el codi]

Sigui un espai topològic, i un subconjunt de . Anomenem adherència de al conjunt de . (La intersecció de tots els tancats que el contenen)

Pel pas al complementari de les propietats de l'interior, veiem que:

  1. , l'adherència conté .
  2. , l'adherència és un tancat de .
  3. Sigui tal que . Aleshores, . És a dir, és el menor tancat que conté a .

I també:

Addicionalment, podem relacionar l'adherència amb l'interior com

Frontera[modifica | modifica el codi]

Anomenem frontera al conjunt

Es compleix que:

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espai topològic Modifica l'enllaç a Wikidata
  1. «espai topològic». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  2. Schubert 1968, p. 13