Espai topològic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Els espais topològics són els principals objectes de treball en la disciplina matemàtica de la topologia.[1]

Definició[modifica | modifica el codi]

Per oberts[modifica | modifica el codi]

És la definició més emprada habitualment. Donat un conjunt  \ X qualsevol, considerem un cert subconjunt \mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X) del conjunt de les parts de  \ X . Diem que \mathcal{T} és una topologia de  \ X si compleix:


  • \empty, X \in \mathcal{T}
  • Donada una família arbitrària d'elements de la topologia A_i \in \mathcal{T}, i\in I, aleshores la seva reunió també hi pertany \bigcup_{i \in I}A_i \in \mathcal{T}.
  • Donada una família finita d'elements de la topologia A_1,\ldots, A_n \in \mathcal{T},

aleshores la seva intersecció també hi pertany \bigcap_{i=1}^n A_i \in \mathcal{T}.

Formalment diem que un espai topològic és un parell ordenat  (X,\mathcal{T}) , format per un conjunt  \ X y una topologia  \mathcal{T} actuant sobre  \ X .

Direm que un subconjut  \ A de  \ X és un conjunt obert si  \ A pertany a  \mathcal{T}. És a dir:

  •  \ A és un obert en  \ X si  \ A \subseteq X \land \ A \in \mathcal{T}

Direm que un subconjunt  \ C de  \ X és un conjunt tancat si  \ X \setminus A \in \mathcal{T}

Per tancats[modifica | modifica el codi]

De manera anàloga es pot definir una topologia per tancats. Direm que  (X,\mathcal{T}) és un espai topològic si es compleixen:

  •  \emptyset \quad i \ X són conjunts tancats.
  • Les interseccions arbitràries de conjunts tancats són tancades.
  • Les unions finites de conjunts tancats són tancades.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Topologia trivial[modifica | modifica el codi]

Sigui  \ X un conjunt qualsevol, considerem \mathcal{T_{\rm t}} = \lbrace \empty, X \rbrace:

  • És força evident que \empty, X \in \mathcal{T}.
  • Si prenem famílies arbitràries d'elements de \mathcal{T}, no tenim gaires tries; en particular obtenim \empty \cup X = X \in \mathcal{T}.
  • Finalment, si fem una intersecció finita d'elements de \mathcal{T}, només podem obtenir \empty \cap X = \empty \in \mathcal{T}.

\mathcal{T_{\rm t}} = \lbrace \empty, X \rbrace és, doncs, una topologia. Aquesta topologia s'anomena Topologia trivial i és la més petita topologia (en el sentit de què té el menor nombre d'elements posibles) que podem formar amb qualsevol conjunt  \ X .

Topologia discreta[modifica | modifica el codi]

Sigui  \ X un conjunt qualsevol, considerem  \mathcal{T_{\rm D}} = \mathcal P (X), el conjunt de les parts de  \ X .

  • És força evident que el conjunt de les parts compleix les tres condicions de topologia perquè no li manca cap conjunt que es pugui construir amb elements de  \ X .

Aquesta topologia s'anomena Topologia discreta i és la més gran (o més fina) que es pot formar amb qualsevol conjunt  \ X .

Topologia usual en R[modifica | modifica el codi]

Sigui  \ X = \R considerem  \mathcal{T_{\rm u}}= \{ \quad ]a,b[ \quad | a <\ b \wedge a,b \in \R \}

  • Es pot veure com  (\R, \mathcal{T_{\rm u}}) forma un Espai Topològic

Aquesta topologia és anomenada usual perquè ve induïda per la mètrica usual de  \R . No és difícil generalitzar aquesta topologia per a  \R^{n} . Sol ser la topologia més utilitzada i la que, generalment, s'empra en l'anàlisi real així com en altres parts de les matemàtiques.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. «Espai topològic». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espai topològic Modifica l'enllaç a Wikidata