Espai topològic

Els espais topològics són els principals objectes de treball en la disciplina matemàtica de la topologia. Un espai topològic es defineix com un conjunt de punts, juntament amb un conjunt de veïnats per a cada punt, que satisfà un conjunt d'axiomes que relacionen els punts i els veïnats. La definició d'espai topològic es basa en la teoria de conjunts i és la noció més general d'un espai matemàtic que permet la definició de conceptes com la continuïtat, la connexió i la convergència. Altres espais, com varietats i espais mètrics, són especialitzacions d'espais topològics amb estructures i restriccions addicionals.

Definició

Per oberts

És la definició més emprada habitualment. Donat un conjunt $X$ qualsevol, considerem un cert subconjunt $\tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ del conjunt de les parts d'$X$. Diem que $\tau$ és una topologia d'$X$ si es compleix que:

1. $\emptyset ,X\in \tau$
2. Donada una família arbitrària d'elements de la topologia, $\{U_{i}:U_{i}\in \tau \land i\in I\}$, aleshores la seva reunió també hi pertany: $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau$.
3. Donada una família finita d'elements de la topologia $U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau$, aleshores la seva intersecció també hi pertany $\bigcap _{i=1}^{n}U_{i}\in \tau$.

Un espai topològic és un parell ordenat $(X,\tau )$, format per un conjunt $X$ i una topologia $\tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)$.

Dels elements de $\tau$ en direm oberts.

Direm que un subconjunt $F$ d'$X$ és un tancat si el seu complementari és obert, és a dir, $X\setminus F\in \tau$

Per tancats

De manera anàloga es pot definir una topologia per tancats. Donat un conjunt $X$ qualsevol, considerem un cert subconjunt $\tau ^{c}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ del conjunt de les parts d'$X$. Direm que $(X,\tau ^{c})$ és un espai topològic si es compleixen:

1. $\emptyset ,X\in \tau ^{c}$
2. Donada una família finita d'elements de la topologia $U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau ^{c}$, aleshores la seva reunió també hi pertany: $\bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\in \tau ^{c}$.
3. Donada una família arbitrària d'elements de la topologia $U_{i}\in \tau ^{c},i\in I$, aleshores la seva intersecció també hi pertany $\bigcap _{i\in I}U_{i}\in \tau ^{c}$.

En aquest cas, als elements de $\tau ^{c}$ els anomenarem tancats, i direm que $U\subseteq X$ és obert si el seu complementari és tancat, és a dir, $X\setminus U\in \tau ^{c}$

Exemples

Topologia trivial (o grollera)

Sigui $X$ un conjunt qualsevol, considerem $\tau _{t}=\lbrace \emptyset ,X\rbrace$:

• És evident que $\emptyset ,X\in \tau _{t}$.

• Si prenem famílies arbitràries d'elements de $\tau _{t}$, només tenim una tria; $\emptyset \cup X=X\in \tau _{t}$.

• Finalment, si fem una intersecció finita d'elements de $\tau _{t}$, només podem prendre $\emptyset \cap X=\emptyset \in \tau _{t}$.

$\tau _{t}=\lbrace \emptyset ,X\rbrace$ és, doncs, una topologia. Aquesta topologia s'anomena topologia trivial o grollera. Per a qualsevol altra topologia $\tau '$ sobre $X$, tenim que $\tau _{t}\subseteq \tau '$. Diem que $\tau _{t}$ és la topologia més grollera (o la menys fina).

Topologia discreta

Sigui $X$ un conjunt qualsevol, considerem $\tau _{d}={\mathcal {P}}(X)$, el conjunt de les parts de $X$. És a dir, forma part de $\tau _{d}$ qualsevol subconjunt de $X$.

• Donat que $\emptyset \subseteq X$ i $X\subseteq X$, $\emptyset ,X\in \tau _{d}$
• Prenent una família arbitrària $\{U_{i}:U_{i}\in \tau _{d}\land i\in I\}$, $\bigcup _{i\in I}U_{i}\subseteq X\Rightarrow \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau _{d}$.
• Prenent una família finita $U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau _{d}$, $\bigcap _{i=1}^{n}U_{i}\subseteq X\Rightarrow \bigcap _{i=1}^{n}U_{i}\in \tau _{d}$.

Aquesta topologia s'anomena topologia discreta. Per a qualsevol altre topologia $\tau '$ sobre $X$, tenim que $\tau '\subseteq \tau _{d}$. Diem que $\tau _{d}$ és la topologia més fina.

A partir d'un espai mètric

Qualsevol espai mètric $(X,d)$ indueix una topologia en $X$. Definim $\tau _{m}$ de la següent manera:

$\tau _{m}:=\{U\subseteq X;\ U\ {\text{és obert amb la distància}}\ d\}$.

Diferents espais mètrics poden induir el mateix espai topològic (ja que generen els mateixos oberts). Per exemple, l'espai topològic usual (o euclidià) en $\mathbb {R} ^{n}$és un cas d'espai topològic induït per un espai mètric $(\mathbb {R} ^{n},d_{eucl})$, però és idèntic a l'espai topològic induït per la distància del màxim $d_{max}=\max\{|y_{i}-x_{i}|\}_{i=0,1,...,n}$.

La topologia discreta és la topologia induïda per la distància discreta.

Aplicacions contínues

La continuïtat d'una aplicació és un concepte essencialment topològic, tot i que s'empra en altres àmbits d'estudi com l'anàlisi. Anem a definir aquest concepte.

Siguin $(X_{1},\tau _{1})$ i $(X_{2},\tau _{2})$ dos espais topològics, i $f:X_{1}\longrightarrow X_{2}$ una aplicació. Direm que $f$ és contínua $\forall x\in X_{1}$ si i només si $\forall U\in \tau _{2}$ la seva antiimatge $f^{-1}(U)\in \tau _{1}$. És a dir, si per a qualsevol obert del conjunt d'arribada, la seva antiimatge és un obert del conjunt de partida.

Interior, adherència i frontera

Interior

Article principal: Interior (topologia)

Sigui $(X,\tau )$ un espai topològic, i $A\subseteq X$ un subconjunt de $X$. Anomenem interior de $A$ al conjunt ${\overset {\circ }{A}}=\bigcup _{U\in \tau \land U\subseteq A}U$. (La unió de tots els oberts que hi estan continguts)

És fàcil veure que l'interior compleix les següents propietats:

1. ${\overset {\circ }{A}}\subseteq A$, l'interior està contingut en $A$.
2. ${\overset {\circ }{A}}\in \tau$, l'interior és un obert de $(X,\tau )$.
3. Sigui $U$ tal que $U\in \tau \land U\subseteq A$. Aleshores, $U\subseteq {\overset {\circ }{A}}$. És a dir, ${\overset {\circ }{A}}$ és el major obert contingut en $A$.

I també:

1. ${\overset {\overset {\circ }{\circ }}{A}}={\overset {\circ }{A}}$
2. ${\overset {\circ }{\overbrace {A\cup B} }}\supseteq {\overset {\circ }{A}}\cup {\overset {\circ }{B}}$
3. ${\overset {\circ }{\overbrace {A\cap B} }}={\overset {\circ }{A}}\cap {\overset {\circ }{B}}$

Adherència

Article principal: Adherència

Sigui $(X,\tau )$ un espai topològic, i $A\subseteq X$ un subconjunt de $X$. Anomenem adherència de $A$ al conjunt de ${\bar {A}}=\bigcap _{(X\setminus F)\in \tau \land A\subseteq F}F$. (La intersecció de tots els tancats que el contenen)

Pel pas al complementari de les propietats de l'interior, veiem que:

1. $A\subseteq {\bar {A}}$, l'adherència conté $A$.
2. $(X\setminus {\bar {A}})\in \tau$, l'adherència és un tancat de $(X,\tau )$.
3. Sigui $F$ tal que $(X\setminus F)\in \tau \land A\subseteq F$. Aleshores, $A\subseteq {\bar {A}}$. És a dir, ${\bar {A}}$ és el menor tancat que conté a $A$.

I també:

1. ${\bar {\bar {A}}}={\bar {A}}$
2. ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\bar {A}}\cap {\bar {B}}$
3. ${\overline {A\cup B}}={\bar {A}}\cup {\overline {B}}$

Addicionalment, podem relacionar l'adherència amb l'interior com $X\setminus {\overset {\circ }{A}}={\overline {X\setminus A}}$

Frontera

Article principal: Frontera (topologia)

Anomenem frontera al conjunt $Fr(A)={\bar {A}}\setminus {\overset {\circ }{A}}$

Es compleix que: $Fr(A)={\bar {A}}\cap {\overline {X\setminus A}}$

Vegeu també

• Revestiment topològic

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espai topològic

Bibliografia

• Schubert, Horst. Macdonald Technical & Scientific. Topology, 1968. ISBN 0-356-02077-0.