Espai topològic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Els espais topològics són els principals objectes de treball en la disciplina matemàtica de la topologia.[1] Un espai topològic es defineix com un conjunt de punts, juntament amb un conjunt de veïnats per a cada punt, que satisfà un conjunt d'axiomes que relacionen els punts i els veïnats. La definició d'espai topològic es basa en la teoria de conjunts i és la noció més general d'un espai matemàtic que permet la definició de conceptes com la continuïtat, la connexió i la convergència.[2] Altres espais, com varietats i espais mètrics, són especialitzacions d'espais topològics amb estructures i restriccions addicionals.

Definició[modifica | modifica el codi]

Per oberts[modifica | modifica el codi]

És la definició més emprada habitualment. Donat un conjunt qualsevol, considerem un cert subconjunt del conjunt de les parts de . Diem que és una topologia de si compleix:


  • Donada una família arbitrària d'elements de la topologia , aleshores la seva reunió també hi pertany .
  • Donada una família finita d'elements de la topologia ,

aleshores la seva intersecció també hi pertany .

Formalment diem que un espai topològic és un parell ordenat , format per un conjunt i una topologia actuant sobre .

Direm que un subconjut de és un conjunt obert si pertany a . És a dir:

  • és un obert en si

Direm que un subconjunt de és un conjunt tancat si

Per tancats[modifica | modifica el codi]

De manera anàloga es pot definir una topologia per tancats. Direm que és un espai topològic si es compleixen:

  • són conjunts tancats.
  • Les interseccions arbitràries de conjunts tancats són tancades.
  • Les unions finites de conjunts tancats són tancades.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Topologia trivial[modifica | modifica el codi]

Sigui un conjunt qualsevol, considerem :

  • És força evident que .
  • Si prenem famílies arbitràries d'elements de , no tenim gaires tries; en particular obtenim .
  • Finalment, si fem una intersecció finita d'elements de , només podem obtenir .

és, doncs, una topologia. Aquesta topologia s'anomena Topologia trivial i és la més petita topologia (en el sentit de què té el menor nombre d'elements possibles) que podem formar amb qualsevol conjunt .

Topologia discreta[modifica | modifica el codi]

Sigui un conjunt qualsevol, considerem , el conjunt de les parts de .

  • És força evident que el conjunt de les parts compleix les tres condicions de topologia perquè no li manca cap conjunt que es pugui construir amb elements de .

Aquesta topologia s'anomena Topologia discreta i és la més gran (o més fina) que es pot formar amb qualsevol conjunt .

Topologia usual en R[modifica | modifica el codi]

Sigui considerem

  • Es pot veure com forma un Espai Topològic

Aquesta topologia és anomenada usual perquè ve induïda per la mètrica usual de . No és difícil generalitzar aquesta topologia per a . Sol ser la topologia més utilitzada i la que, generalment, s'empra en l'anàlisi real així com en altres parts de les matemàtiques.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. «espai topològic». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  2. Schubert 1968, p. 13
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espai topològic Modifica l'enllaç a Wikidata