Conjunt obert

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un conjunt obert (o simplement obert) és cadascun dels elements que conformen una topologia.

Per exemple, a amb la topologia euclidiana, diem que és un conjunt obert, perquè per qualsevol valor tal que sempre podrem trobar un valor tal que la bola (obert de la topologia) .

En el cas anterior, si s'hagués agafat el conjunt , no podríem dir el mateix, ja que per no existeix cap que compleixi la condició.

El fet que un cert conjunt sigui obert o tancat no depèn dels elements de l'espai sinó també de la topologia que s'hi defineix. Així per exemple el cas anterior, en , no és un obert si prenem la topologia grollera.

Definicions[modifica | modifica el codi]

Espais topològics[modifica | modifica el codi]

La topologia és l'àmbit més general en què trobem els conjunts oberts. En aquest context, el concepte de conjunt obert és fonamental.

Donat un conjunt , sigui un conjunt qualsevol de subconjunts de , que compleix les següents propietats.

  • La unió arbitrària de conjunts de és un conjunt de .
  • La intersecció finita de conjunts de , és un conjunt de .
  • Els conjunts i pertanyen a .

Amb aquestes condicions, és un espai topològic, i a se l'anomena topologia de , i per definició, els conjunts de són conjunts oberts.

L'espai topològic ve especificat per la parella .

Cal observar que si es considera un conjunt amb dues topologies diferents, i , es tenen dos espais topològics diferents.

Espais mètrics[modifica | modifica el codi]

En el cas dels espais mètrics, la definició de conjunt obert, es pot fer de la següent forma:

Sigui un subconjunt d'un espai mètric , es dirà que és obert si:

Espais vectorials normats[modifica | modifica el codi]

En el cas dels espais vectorials normats, com espais mètrics que són, es pot dir que un conjunt és obert si:

on és la bola centrada a i de radi

Un conjunt obert a , té la propietat de ser una unió numerable d'intervals oberts. ( i també són oberts).

Propietats[modifica | modifica el codi]

Cada subconjunt d'un espai topològic conté a un conjunt obert, tal vegada el conjunt buit. El més gran d'aquests conjunts oberts, s'anomena interior de , que es pot construir buscant la unió de tots els conjunts oberts continguts en .

Donats dos espais topològics, , una funció és contínua si la preimatge de cada conjunt obert en és oberta en .

Fonts[modifica | modifica el codi]

John L. Kelleys. General Topology. Springer-Verlag, New York, 1991.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]