Conjunt obert

Exemple: La circumferència blava representa el conjunt de punts (x, y) que satisfan x² + y² = r². El disc vermell representa el conjunt de punts (x, y) que satisfan x² + y² < r². El conjunt vermell és un conjunt obert, el conjunt blau n'és la frontera, i la unió dels conjunts vermell i blau és un conjunt tancat.

En matemàtiques, un conjunt obert (o simplement obert) és cadascun dels elements que conformen una topologia. Es defineix com un conjunt en què cadascun dels seus elements té un veïnat que està inclòs en el mateix conjunt; o, dit d'una altra manera més intuïtiva, que cap element de tal conjunt pertany també a la frontera del conjunt. En termes rigurosos, es diu que en qualsevol element del conjunt pot centrar-se una bola oberta que està totalment continguda en el conjunt.

Per exemple, a $\mathbb {R} \,$ amb la topologia euclidiana, diem que $(0,1)\,$ és un conjunt obert, perquè per qualsevol valor $x\,$ tal que $0<x<1\,$ sempre podrem trobar un valor $\varepsilon >0\,$ tal que la bola (obert de la topologia) $(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\subset (0,1)\,$. En aquest exemple, si s'hagués agafat el conjunt $(0,1]\,$, no es podria dir el mateix, ja que per $x=1\,$ no existeix cap $\varepsilon >0\,$ que compleixi la condició.

El fet que un cert conjunt sigui obert o tancat no depèn dels elements de l'espai sinó també de la topologia que s'hi defineix. Així per exemple el cas anterior, $(0,1)\,$ en $\mathbb {R} \,$, no és un obert si prenem la topologia grollera.

Motivació

Intuïtivament, un conjunt obert proporciona un mètode per distingir dos punts. Per exemple, si sobre un dels dos punts d'un espai topològic, existeix un conjunt obert que no conté l'altre punt, els dos punts s'anomenen topològicament distingibles. d'aquesta manera, es pot parlar de si dos punts, o més generalment dos subconjunts, d'un espai topològic estan "a prop" sense definir pròpiament una distància. Per tant, els espais topològics poden veure's com una generalització dels espai dotats d'una noció de distància, que es denominen espais mètrics.

En el conjunt de tots els nombres reals, es té la mètrica euclidiana natural; és a dir, una funció que mesura la distància entre dos nombres reals:d(x, y) = Plantilla:Mabs. Per tant, donat un nombre real x, es pot parlar del conjunt de tots els punts propers a x; és a dir, a una distància ε de x. En essència, els punts a ε de x s'aproximen a x amb una precisió de grau ε. Noti's que ε > 0 sempre, però a mesura que ε es fa més i més ptit, s'obtenen punts que s'aproximen a x amb un grau de precisió cada cop més gran. Per exemple, si x = 0 i ε = 1, els punts a ε de x són precisament els punts de l'interval (-1, 1); és a dir, el conjunt de tots els nombres reals entre -1 i 1. No obstant això, amb ε = 0,5, els punts a ε de x són precisament els punts de (-0,5, 0,5). Clarament, aquests punts s'aproximen a x en un grau de precisió major respecte quan ε = 1.

La discussió anterior mosstra, per al cas x = 0, que es pot aproximar x a graus de precisió cada cop més grans definint ε cada cop més petit. En particular, els conjunts de la forma (-ε, ε) donen molta informació sobre els punts propers a x = 0. Així, en lloc de parlar d'una mètrica euclidiana particular, es poden utilitzar conjunts per a descriure els punts propers a x. Aquesta idea innovadora té conseqüències de gran abast; en particular, en definir diferents col·leccions de conjunts que contenen el 0 (més enllà dels conjunts (-ε, ε)), es poden trobar diferents resultats sobre la distància entre 0 i altres nombres reals. Per exemple, si es defineix R com l'únic conjunt d'aquest tipus per tal de "mesurar la distància", tots els punts estan a prop de ', ja que només hi ha un grau possible d'exactitud que es pot obtenir en l'aproximació a 0: ser un membre d'R. Així resulta que, en un cert sentit, tot nombre real està a una distància 0 de 0. En aquest cas, pot ajudar pensar que la mesura és una condició binària: totes les coses en R estan igualment a prop de 0, mentre que qualsevol element que no estigui en R no està a prop de 0.

En general es parla de la família de conjunts que contenen 0, utilitzada per a aproximar 0, com una base de veïnatge; es denomina conjunt obert a un membre d'aquesta base de veïnatge. De fet, es poden generalitzar aquestes nocions d'un conjunt arbitrari (X); en lloc de només els nombres reals. En aquest cas, donat un punt (x) d'aquest conjunt, es pot definir una col·lecció de conjunts "al voltant" (és a dir, que continguin) x, utilitzats per aproximar x. Evidentment, aquesta col·lecció hauria de satisfer certes propietats (conegudes com axiomes), ja que de no ser així no es podria disposar d'un mètodes ben definit per a mesurar la distància. Per exemple, cada punt de X hauria d'aproximar-se a x amb un cert grau de precisió. Per tant, X hauria de pertànyer a aquesta família. Un cop ees comencin a definir conjunts "més petits" que conteninguin x, es tendeix a aproximar x amb un major grau de precisió. Tenint tot això en ment, es poden definir la resta d'axiomes que ha de satisfer la família de conjunts sobre x.

Definicions

Espais topològics

La topologia és l'àmbit més general en què trobem els conjunts oberts. En aquest context, el concepte de conjunt obert és fonamental.

Donat un conjunt $\mathrm {X} \,$, sigui $\mathbf {T} \,$ un conjunt qualsevol de subconjunts de $\mathrm {X} \,$, que compleix les següents propietats.

• La unió arbitrària de conjunts de $\mathbf {T} \,$ és un conjunt de $\mathbf {T} \,$.
• La intersecció finita de conjunts de $\mathbf {T} \,$, és un conjunt de $\mathbf {T} \,$.
• Els conjunts $\mathrm {X} \,$ i $\emptyset \,$ pertanyen a $\mathbf {T} \,$.

Amb aquestes condicions, $\mathrm {X} \,$ és un espai topològic, i a $\mathbf {T} \,$ se l'anomena topologia de $\mathrm {X} \,$, i per definició, els conjunts de $\mathbf {T} \,$ són conjunts oberts.

L'espai topològic ve especificat per la parella $(\mathrm {X} ,\mathbf {T} )\,$.

Cal observar que si es considera un conjunt $\mathrm {X} \,$ amb dues topologies diferents, $\mathbf {T} \,$ i $\mathbf {T'} \,$, es tenen dos espais topològics diferents.

Espais mètrics

En el cas dels espais mètrics, la definició de conjunt obert, es pot fer de la següent forma:

Sigui $U\,$ un subconjunt d'un espai mètric $(M,d)\,$, es dirà que $U\,$ és obert si:

$\forall x\in U,\exists \varepsilon >0\;|\;\forall y\in M,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in U\,$

Espai euclidià

Es diu que un subconjunt U d'un espai euclidià n-dimensional Eⁿ és obert si, donat qualsevol punt x en U, existeix un nombre real ε > 0 tal que, donat qualsevol punt y en Eⁿ a una distància euclidiana d'x inferior a ε, y també pertany a U. De forma equivalent, U és obert si cada punt en U té un entorn contingut en U.

Un exemple d'un conjunt obert en E² (en un pla) és tots els punts dins del cercle de radi r, que satisfan l'equació $r>{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

Com que la distància de qualsevol punt p en aquest conjunt a la frontera del conjunt és més gran que zero: $r-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$, es pot fixar ε a la meitat d'aquesta distància; és a dir ε és també més gran que zero, i tots els punts que estan a una distància ε de p estan també en el conjunt, satisfent així les condicions per a un conjunt obert.

Espais vectorials normats

En el cas dels espais vectorials normats, com espais mètrics que són, es pot dir que un conjunt $U\subset \mathbb {R} ^{n}\,$ és obert si:

$\forall x\in U,\exists \varepsilon >0\;|\;B_{\varepsilon }(x)\subset U\,$

on $B_{\varepsilon }(x)\,$ és la bola centrada a $x\,$ i de radi $\varepsilon \,$

Un conjunt obert a $\mathbb {R} \,$, té la propietat de ser una unió numerable d'intervals oberts. ($\mathbb {R} \,$ i $\emptyset \,$ també són oberts).

Tipus especials de conjunts oberts

Conjunts oberts i conjunts no oberts i/o no tancats

Un conjunt pot ser obert, tancat, ambdues coses o cap de les dues. En particular, els conjunts oberts i tancats no són mútuament excloents, la qual cosa significa que en general és possible que un subconjunt d'un espai topològic sigui simultàniament un subconjunt obert i un subconjunt tancat. Tals subconjunts es coneixen com conjunts clopen (contracció de les paraules angleses closed i open). Explícitament, un subconjunt $S$ d'un espai topològic $(X,\tau )$ rep el nom de «clopen» si tant $S$ com el seu complement $X\setminus S$ són subconjunts oberts de $(X,\tau )$; o el que és el mateix, si $S\in \tau$ i $X\setminus S\in \tau .$

En qualsevol espai topològic $(X,\tau ),$ el conjunt buit $\varnothing$ i el propi conjunt $X$ són sempre tancats. Aquests dos conjunts són els exemples més coneguts de subconjunts tancats i demostren que existeixen subconjunts tancats en tots els espais topològics. Per veure per què $X$ és tancat, recordi's que els subconjunts $X$ i $\varnothing$> són, per definició, subconjunts sempre oberts (de $X$). També per definició, es diu que un subconjunt $S$ és tancat si i només si el seu complement en $X,$ que és el conjunt $X\setminus S,$ és un subconjunt obert. Atès que el complement (en $X$) del conjunt $S:=X$ és el conjunt buit (és a dir $X\setminus S=\varnothing$), que és un subconjunt obert, això fa que $S=X$ sigui un subconjunt tancat de $X$ (per definició de "subconjunt tancat"). Per tant, no importa quina topologia es posi a $X,$ tot l'espai $X$ és alhora un subconjunt obert i també un subconjunt tancat d'$X$; dit d'una altra manera, $X$ és sempre un subconjunt tancat d'$X.$ Com que el complement del conjunt buit és $X\setminus \varnothing =X,$ que és un subconjunt obert, es pot utilitzar el mateix raonament per concloure que $S:=\varnothing$ també és un subconjunt tancat de $X.$

Consideri's la recta real $\mathbb {R}$ dotada de la topologia euclidiana habitual, els conjunts oberts de la qual es defineixen de la següent manera: tot interval $(a,b)$ de nombres reals pertany a la topologia, tota unió de tals intervals, és a dir $(a,b)\cup (c,d),$ pertany a la topologia, i com sempre, tant $\mathbb {R}$ com $S:=\varnothing$ pertanyen a la topologia.

• L'interval $I=(0,1)$ és obert en $\mathbb {R}$ perquè pertany a la topologia euclidiana. Si $I$ tingués un complement obert, significaria per definició que $I$ seria tancat. Però $I$ no té complement obert; el seu complement és $R\setminus I=(-\infty ,0]\cup [1,\infty ),$ que no pertany a la topologia euclidiana ja que no és una unió d'intervals oberts de la forma $(a,b).$ Per tant, $I$ és un exemple de conjunt obert però no tancat.
• Seguint un argument similar, l'interval $J=[0,1]$ és un subconjunt tancat però no obert.
• Finalment, com que ni $K=[0,1)$ ni el seu complement $R\setminus K=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )$ pertanyen a la topologia euclidiana (ja que cap d'ells no pot ser escrits com la unió d'intervals de la forma $(a,b)$), això implica que $K$ no és ni obert ni tancat.

Propietats

Cada subconjunt $A\,$ d'un espai topològic $X\,$ conté a un conjunt obert, tal vegada el conjunt buit. El més gran d'aquests conjunts oberts, s'anomena interior de $A\,$, que es pot construir buscant la unió de tots els conjunts oberts continguts en $A\,$.

Donats dos espais topològics, $X,Y\,$, una funció $f:X\rightarrow Y\,$ és contínua si la preimatge de cada conjunt obert en $Y\,$ és oberta en $X\,$.

Aplicacions

Cada subconjunt A d'un espai topològic X conté un conjunt obert (potser buit); el més gran d'aquests conjunts oberts rep el nom d'interior d'A. Pot ser construït prenent la unió de tots els conjunts oberts continguts en A.

Donats els espais topològics X i Y, una funció f d'X a Y és contínua si l'antiimatge de cada conjunt obert en Y és obert en X. Es diu que la funció f és oberta si la imatge de cada conjunt obert en X és oberta en Y.

Un conjunt obert en la recta real, segons la topologia usual, es caracteritza per la propietat de ser una unió numerable d'intervals oberts disjunts.

Vegeu també

• Conjunt tancat
• Transformada de Berezin