Conjunt numerable

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un conjunt és numerable quan els seus elements poden posar-se en correspondència un a un amb el conjunt dels nombres naturals.

Per exemple, el conjunt de tots els nombres parells, és numerable perquè la correspondència següent:


 f(n) = 
 \begin{cases} 
 n + 1 & \mbox{si } n \text{ és senar}\\
 2 - n & \mbox{si } n \text{ és parell}
 \end{cases}


 \begin{array}{|rcr|}
 \hline
 n & \longmapsto & p \\
 \hline
 1 & \longmapsto & 2 \\
 2 & \longmapsto & 0 \\
 3 & \longmapsto & 4 \\
 4 & \longmapsto & -2 \\
 5 & \longmapsto & 6 \\
 6 & \longmapsto & -4 \\
 7 & \longmapsto & 8 \\
 8 & \longmapsto & -6 \\
 \cdots & \longmapsto & \cdots \\
 \end{array}

és una bijecció: cada nombre natural correspon a un únic nombre parell i viceversa.

Alguns autors prenen una definició alternativa de conjunt numerable que inclou també els conjunts finits. Aquesta definició estableix que un conjunt és numerable quan existeix correspondència un a un entre el conjunt i algun subconjunt dels nombres naturals i és per això que a vegades s'especifica conjunt infinit numerable o summament numerable per evitar ambigüitats, referint-se la primera expressió únicament a conjunts infinits i la segona permetent conjunts finits.

Georg Cantor fou el primer que féu ús d'aquest concepte en un article publicat el 1874 que marcaria el naixement de la teoria de conjunts.[1] Tanmateix, la seva importància es manifesta en nombrosos camps de les matemàtiques, en particular a l'anàlisi, en teoria de la mesura i en topologia.

Definicions[modifica | modifica el codi]

De manera més formal, un conjunt C es diu que és numerable quan és equipotent amb el conjunt dels nombres naturals \mathbb{N}, és a dir, quan existeix una bijecció de \mathbb{N} amb C. Alguns autors estenen la definició per incloure els conjunts finits, i sota aquesta extensió un conjunt numerable és aquell que es pot posar en bijecció amb un subconjunt dels nombres naturals. Aquesta extensió serà designada en aquest article amb l'expressió «conjunt summament numerable o «conjunt finit o numerable».[2] En cas que hi pugui haver ambigüitat, sempre es pot especificar que un conjunt equipotent amb \mathbb{N} és un «conjunt infinit numerable.

En canvi, un conjunt (infinit) no numerable és un conjunt infinit que no és equipotent amb \mathbb{N}. L'argument de la diagonal de Cantor permet demostrar que el conjunt dels nombres reals \mathbb{R} i el conjunt de les parts de \mathbb{N} no són numerables, i també mostra l'existència de nombrosos infinits diferents dels anteriors i que tampoc no són numerables.

Article principal: Teorema de Cantor

Un conjunt que conté un subconjunt infinit numerable és necessàriament infinit. A partir dels axiomes de la teoria de conjunts, en particular l'axioma de l'elecció, es pot mostrar que l'infinit numerable és l'infinit més petit en el sentit que tot conjunt infinit conté un conjunt infinit numerable. Es pot aleshores caracteritzar un conjunt infinit com un conjunt que conté un subconjunt numerable, definició que té aplicacions en teoria de la cardinalitat.

El cardinal de \mathbb{N}, i per tant el cardinal de qualsevol conjunt numerable, es denota \aleph_0 (àlef zero). És el primer dels nombres ordinals àlef, que representen tots els cardinals donat l'axioma de l'elecció.

Article principal: Àlef (número)

Origen del terme[modifica | modifica el codi]

La noció de numerabilitat fou introduïda per Georg Cantor en un article del 1874,[3] Sobre una propietat del sistema de tots els nombres algebraics reals[4] on estableix d'una banda que el conjunt dels nombres algebraics reals (és a dir, el conjunt dels nombres reals que són solució d'alguna equació polinòmica amb coeficients enters) és numerable,[5] i d'altra banda que el conjunt de tots els nombres reals no ho és, a partir del que dedueix immediatament l'existència de nombres transcendents o no algebraics, redescobrint així un resultat de Liouville.

El seu origen està lligat a la concepció de l'infinit en matemàtiques. Fins el descobriment de Cantor, l'infinit era l'infinit potencial, la possibilitat de continuar un procés sense aturar-se mai. La comparació de conjunts infinits comporta la noció d'infinit assolit, actual o complet: un conjunt infinit vist com un tot, un concepte que ha sigut rebutjat per nombrosos matemàtics (Gauss, o, a l'època de Cantor, Kronecker, etc).[6] Per fer-ho, el fet de considerar una infinitat d'objectes com un tot, és a dir, el concepte de conjunt infinit, no té sentit, sinó que l'infinit només pot sorgir del procés d'enumeració sense repetició que mai no s'atura. Només l'infinit numerable pot tenir en rigor algun sentit.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Hotel infinit

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Thomas Jech, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophia,
  2. Formalment, perquè aquestes dues expressions siguin equivalents, cal demostrar que tot subconjunt de \mathbb{N} és finit o numerable.
  3. i el 1873 a la seva correspondència amb Dedekind.
  4. Cantor (1874) Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262 (vegeu el centre de numeració de Göttingen ). Disposem de l'origen d'aquesta demostració, que encara no és la demostració més coneguda que utilitza l'argument diagonal, gràcies a les cartes del 7 i 9 de desembre del 1873 de Georg Cantor a Richard Dedekind.
  5. Demostració de Dedekind, segons la seva correspondència.
  6. Vegeu per exemple Kneale i Kneale, The development of Logic Clarendon Press 1962, p 673.