Equipotència

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En la teoria dels conjunts, es diu que dos conjunts E i F són equipotents, i es nota EF, si existeix una bijecció .

Per definició, dos conjunts (finits o no) tenen la mateixa cardinalitat (el mateix nombre d'elements) si són equipotents.

Propietats de l'equipotència[modifica | modifica el codi]

L'equipotència té les proprietats següentes:

  • És simètrica: essent dos conjunts E i F, si EF, aleshores FE (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció ; aleshores és una bijecció )
  • És transitiva : essent tres conjunts E, F i G, si EF i FG, aleshores EG (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció i una bijecció ; aleshores la composició és una bijecció)

Açò prova que dins tot conjunt de conjunts, la relació binària d'equipotència és una relació d'equivalència, i que el conjunt quocient pot ésser identificat al conjunt dels cardinals dels elements de .
Per exemple, si és el conjunt de les parts d'un conjunt , l'equipotència és una relació d'equivalència dins .

Tanmateix, no és possible de dir que l'equipotència és una relació d'equivalència dins el conjunt de tots els conjunts: dins la teoria clàssica dels conjunts, el conjunt de tots els conjunts no existeix pas.

Teorema de Cantor-Bernstein[modifica | modifica el codi]

El teorema de Cantor-Bernstein (o teorema de Cantor-Bernstein-Schröder) és una caracterització de l'equipotència. S'enuncia així:

Essent dos conjunts E i F, si existeixen dues injeccions i , aleshores EF.

Exemples i contra-exemples[modifica | modifica el codi]

  • El conjunt dels enters naturals i el conjunt dels enters naturals parells, notat ací , són equipotents: l'aplicació és bijectiva. De fet els conjunts que són equipotents amb ℕ es diu que són numerables.
  • Cas dels intervals del conjunt dels nombres reals
    • Sien dos reals , tals que , i els intervals
      ,
      • Els intervals i són equipotents: l'aplicació és bijectiva.
      • Anàlogament, els intervals i són equipotents.
    • Els intervals i són equipotents:
      • l'aplicació és injectiva (en fet, és la injecció canònica).
      • l'aplicació és injectiva.
      • l'equipotència de i és, aleshores, conseqüència del teorema de Cantor-Bernstein.
    • Els intervals i són equipotents:
      l'aplicació és bijectiva.
    • En fet, es pot generalitzar açò: dos intervals de qualssevulla (posat que cada un contenga almenys dos punts) són equipotents.
  • Essent un conjunt , el conjunt de les seves parts és equipotent al conjunt de les funcions .
    Per provar-ho, s'associa a tota part A de la seva funció característica definida així: per a tot element x de , si i si .
    L'aplicació és bijectiva : si f és una funció i si es defineix , és clar que A es l'única part de tal que .
  • Segons un teorema clàssic de Cantor, el conjunt dels enters naturals no és equipotent al conjunt dels reals.
  • Semblantment, un conjunt no és equipotent al conjunt de les seves parts.
    Per provar-ho (per reducció a l'absurd), suposem l'existència d'una bijecció i definim el conjunt .
    Com que i f és bijectiva, existeix un element (únic) del conjunt tal que .
    Llavors: , una contradicció.
(observeu que en aquesta demostració, no hem fet servir la unicitat de : així, hem provat que no existeix cap suprajecció ).

Cas dels conjunts finits i dels conjunts infinits[modifica | modifica el codi]

Conjunts equipotents a un conjunt finit[modifica | modifica el codi]

Si E és un conjunt finit, els conjunts equipotents a E són aquells conjunts finits que tenen el mateix nombre d'elements que E.

Conjunts equipotents a un conjunt infinit[modifica | modifica el codi]

Tot conjunt equipotent a un conjunt infinit és també infinit. Però se sap d'ençà del segle XIX, per les obres de Georg Cantor, que hi ha conjunts infinits que no són equipotents, valent a dir que no tenen la mateixa cardinalitat (cf. ací a sobre).

Vegeu també[modifica | modifica el codi]