Anàlisi funcional

Un dels possibles modes de vibració d'una membrana circular. Aquests modes són funcions pròpies d'un operador lineal en un espai funcional, una construcció comuna en l'anàlisi funcional.

L'anàlisi funcional és la branca de les matemàtiques, i específicament de l'anàlisi, que tracta de l'estudi d'espais de funcions. Té les seves arrels històriques en l'estudi de transformacions, com ara la transformació de Fourier i en l'estudi de les equacions diferencials i equacions integrals. La paraula funcional es remunta al càlcul de variacions, implicant una funció l'argument de la qual també és una funció. El seu ús en general s'ha atribuït a Volterra.

A la visió moderna inicial, es va considerar l'anàlisi funcional com l'estudi dels espais vectorials normats complets sobre els reals o els complexos. Aquests espais es diuen espais de Banach. Un exemple important és l'espai de Hilbert, on la norma sorgeix d'un producte escalar. Aquests espais són d'importància fonamental en la formulació matemàtica de la mecànica quàntica. Més generalment i modernament, l'anàlisi funcional inclou l'estudi dels espais de Fréchet i altres espais vectorials localment convexos i encara topològics.

Un objecte important d'estudi en anàlisi funcional són els operadors lineals continus definits en els espais de Banach i de Hilbert. Aquests condueixen naturalment a la definició de C * àlgebra i altres àlgebres d'operadors.

Els espais de Hilbert poden ser classificats totalment: hi ha un únic espai de Hilbert mòdul isomorfisme per a cada Cardinal de la base (hilbertiana). Com que els espais de Hilbert finit-dimensionals s'entenen completament en àlgebra lineal, i ja que els morfismes dels espais de Hilbert es poden dividir sempre en morfismes d'espais amb dimensionalitat alef-0 ($\aleph _{0}$), l'anàlisi funcional de Hilbert tracta sobretot amb l'espai únic de Hilbert de dimensionalitat alef-0, i els seus morfismes.

Els espais de Banach generals són molt més complicats que els espais de Hilbert. No hi ha definició clara de què constituiria una base, per exemple.

Per a qualsevol nombre real p ≥ 1, un exemple d'un espai de Banach està donat pels espais L^p.

En els espais de Banach, una gran part de l'estudi involucra l'espai dual: l'espai de totes funcionals lineals contínues. Com en àlgebra lineal, el dual del dual no és sempre isomorf a l'espai original, però hi ha un monomorfisme natural d'un espai en el seu doble dual sempre. Això s'explica en l'article espai dual.

La noció de derivada s'amplia a les funcions arbitràries entre els espais de Banach; resulta que la derivada d'una funció en cert punt és realment una funció lineal contínua.

Aquí enumerem alguns resultats importants de l'anàlisi funcional:

• Teorema de Banach-Steinhaus és un resultat en conjunts equicontinus d'operadors.
• Teorema espectral dona una fórmula integral per als operadors normals en un espai de Hilbert. És d'importància central en la formulació matemàtica de la mecànica quàntica.
• Teorema de Hahn-Banach és sobre l'extensió de funcionals continus des d'un subespai a tot l'espai, d'una manera que preservi la norma.
• Teorema de la funció oberta i teorema de la gràfica tancada.
• Teorema del punt fix de Banach

Etimologia

L'ús de la paraula funcional com a substantiu es remunta al càlcul de variacions, que implica una funció l'argument de la qual és una funció. El terme es va utilitzar per primera vegada al llibre de Hadamard de 1910 sobre aquest tema. Tanmateix, el concepte general de funcional havia estat introduït prèviament el 1887 pel matemàtic i físic italià Vito Volterra. La teoria dels funcionals no lineals va ser continuada pels estudiants de Hadamard, en particular Fréchet i Lévy. Hadamard també va fundar l'escola moderna d'anàlisi funcional lineal, desenvolupada encara més per Riesz i el grup de matemàtics polonesos al voltant de Stefan Banach.

En els textos introductoris moderns sobre anàlisi funcional, la matèria es veu com l'estudi d'espais vectorials dotats d'una topologia, en particular espais de dimensió infinita. En canvi, l'àlgebra lineal tracta principalment d'espais de dimensió finita i no utilitza la topologia. Una part important de l'anàlisi funcional és l'extensió de les teories de mesura, integració i probabilitat a espais de dimensió infinita, també coneguda com a anàlisi de dimensió infinita.

Espais vectorials normats

La classe bàsica i històricament primera d'espais estudiats en anàlisi funcional són els espais vectorials normats complets sobre els nombres reals o complexos. Aquests espais s'anomenen espais de Banach. Un exemple important és un espai de Hilbert, on la norma sorgeix d'un producte intern. Aquests espais són de fonamental importància en moltes àrees, incloent-hi la formulació matemàtica de la mecànica quàntica, l'aprenentatge automàtic, les equacions diferencials parcials i l'anàlisi de Fourier.

Més generalment, l'anàlisi funcional inclou l'estudi dels espais de Fréchet i altres espais vectorials topològics no dotats d'una norma.

Un objecte d'estudi important en l'anàlisi funcional són els operadors lineals continus definits en espais de Banach i Hilbert. Aquests condueixen naturalment a la definició de C*-àlgebres i altres àlgebres d'operadors.

Espais de Hilbert

Els espais de Hilbert es poden classificar completament: hi ha un únic espai de Hilbert fins a l'isomorfisme per a cada cardinalitat de la base ortonormal. Els espais de Hilbert de dimensió finita s'entenen completament en àlgebra lineal, i els espais de Hilbert separables de dimensió infinita són isomorfs a $\ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,$. Com que la separabilitat és important per a les aplicacions, l'anàlisi funcional dels espais de Hilbert tracta principalment aquest espai. Un dels problemes oberts en l'anàlisi funcional és demostrar que tot operador lineal limitat en un espai de Hilbert té un subespai invariant propi. Ja s'han demostrat molts casos especials d'aquest problema del subespai invariant.

Espais de Banach

Els espais de Banach generals són més complicats que els espais de Hilbert i no es poden classificar d'una manera tan senzilla com aquests. En particular, molts espais de Banach no tenen una noció anàloga a la de base ortonormal.

Exemples d'espais de Banach són $L^{p}$ -espais per a qualsevol nombre real $p\geq 1$. Donada també $p\geq 1$. mesura $\mu$ al plató $X$, aleshores $L^{p}(X)$, de vegades també denotat $L^{p}(X,\mu )$ o $L^{p}(\mu )$, té com a vectors classes d'equivalència $[\,f\,]$ de funcions mesurables el valor absolut de les quals és $p$ la potència -èsima té una integral finita; és a dir, funcions $f$ per al qual es té $$\int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty .$$

Si $\mu$ és la mesura de recompte, aleshores la integral es pot substituir per una suma. És a dir, requerim $$\sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<\infty .$$

Aleshores no cal tractar amb classes d'equivalència, i l'espai es denota per $\ell ^{p}(X)$, escrit de manera més senzilla $\ell ^{p}$ en el cas que $X$ és el conjunt dels enters no negatius.

En els espais de Banach, una gran part de l'estudi implica l’espai dual: l'espai de totes les aplicacions lineals contínues des de l'espai fins al seu camp subjacent, les anomenades funcionals. Un espai de Banach es pot identificar canònicament amb un subespai del seu bidual, que és el dual del seu espai dual. L'aplicació corresponent és una isometria, però en general no és sobre. Un espai de Banach general i el seu bidual no necessiten ser isomètricament isomorfs de cap manera, contràriament a la situació de dimensió finita. Això s'explica a l'article sobre l'espai dual.

A més, la noció de derivada es pot estendre a funcions arbitràries entre espais de Banach. Vegeu, per exemple, l'article sobre derivades de Fréchet.

Resultats principals i fonamentals

Hi ha quatre teoremes principals que de vegades s'anomenen els quatre pilars de l'anàlisi funcional:

• el teorema de Hahn-Banach
• el teorema de la correspondència oberta
• el teorema del graf tancat
• el principi de limitació uniforme, també conegut com a teorema de Banach-Steinhaus.

Els resultats importants de l'anàlisi funcional inclouen:

Principi de limitació uniforme

El principi de limitació uniforme o teorema de Banach-Steinhaus és un dels resultats fonamentals de l'anàlisi funcional. Juntament amb el teorema de Hahn-Banach i el teorema de la funció oberta, es considera una de les pedres angulars del camp. En la seva forma bàsica, afirma que per a una família d’operadors lineals continus (i, per tant, operadors limitats) el domini dels quals és un espai de Banach, la limitació puntual és equivalent a la limitació uniforme en la norma de l'operador.

El teorema va ser publicat per primera vegada el 1927 per Stefan Banach i Hugo Steinhaus, però també va ser demostrat independentment per Hans Hahn.

Sigui $X$ un espai de Banach i $Y$ un espai vectorial normat. Suposem que $F$ és una col·lecció d'operadors lineals continus des de $X$ fins a $Y$. Si per a tot $x$ a $X$ es té $$\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,$$ llavors $$\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .$$ Teorema (Principi de Limitació Uniforme)

Teorema espectral

Hi ha molts teoremes coneguts com el teorema espectral, però un en particular té moltes aplicacions en l'anàlisi funcional.

Sigui $A$ un operador autoadjunt limitat en un espai de Hilbert $H$. Aleshores hi ha un espai de mesures $(X,\Sigma ,\mu )$ i una funció mesurable essencialment limitada amb valors reals $f$ sobre $X$ i un operador unitari $U:H\to L_{\mu }^{2}(X)$ tal que $$U^{*}TU=A$$ on T és l'operador de multiplicació: $$[T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).$$ i $\|T\|=\|f\|_{\infty }$. Teorema espectral

Aquest és el començament de la vasta àrea de recerca de l'anàlisi funcional anomenada teoria d'operadors; vegeu també la mesura espectral.

També hi ha un teorema espectral anàleg per a operadors normals limitats en espais de Hilbert. L'única diferència en la conclusió és que ara $f$ pot tenir valors complexos.

Teorema de Hahn-Banach

El teorema de Hahn-Banach és una eina central en l'anàlisi funcional. Permet l'extensió de funcionals lineals limitats definits en un subespai d'algun espai vectorial a tot l'espai, i també demostra que hi ha "prou" funcionals lineals continus definits en cada espai vectorial normat per fer que l'estudi de l’espai dual sigui "interessant".

Si $p:V\to \mathbb {R}$ és una funció sublineal, i $\varphi :U\to \mathbb {R}$ és una funcional lineal en un subespai lineal $U\subseteq V$ que està dominat per $p$ a $U$; és a dir, $$\varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U$$ llavors existeix una extensió lineal $\psi :V\to \mathbb {R}$ of $\varphi$ de $\varphi$ a tot l'espai $V$ que està dominat per $p$ a $V$; és a dir, existeix un funcional lineal $\psi$ tal que $${\begin{aligned}\psi (x)&=\varphi (x)&\forall x\in U,\\\psi (x)&\leq p(x)&\forall x\in V.\end{aligned}}$$ Teorema de Hahn-Banach

Teorema de mapatge obert

El teorema de la funció oberta, també conegut com a teorema de Banach-Schauder (anomenat així per Stefan Banach i Juliusz Schauder), és un resultat fonamental que estableix que si un operador lineal continu entre espais de Banach és surjectiu, aleshores és una funció oberta. Més precisament,

Si X i Y són espais de Banach i $A:X\to Y$ és un operador lineal continu sobrejectiu, aleshores A és una aplicació oberta (és a dir, si U és un conjunt obert a X, aleshores A(U) és oberta a Y). Teorema de l'aplicació oberta

La demostració utilitza el teorema de la categoria de Baire i la completesa d'ambdós $X$ i $Y$ és essencial per al teorema. L'enunciat del teorema ja no és cert si qualsevol dels espais se suposa que és un espai normat, però és cert si $X$ i $Y$ es consideren espais de Fréchet.

Teorema del graf tancat

Si $X$ és un espai topològic i $Y$ és un espai compacte de Hausdorff, aleshores el gràfic d'una aplicació lineal $T$ de $X$ a $Y$ està tancat si i només si $T$ és continu. Teorema del graf tancat.

Fonaments de consideracions matemàtiques

La majoria dels espais considerats en l'anàlisi funcional tenen dimensió infinita. Per demostrar l'existència d'una base d'espai vectorial per a aquests espais pot ser necessari el lema de Zorn. Tanmateix, un concepte una mica diferent, la base de Schauder, sol ser més rellevant en l'anàlisi funcional. Molts teoremes requereixen el teorema de Hahn-Banach, que normalment es demostra mitjançant l’axioma d'elecció, tot i que n'hi ha prou amb el teorema de l'ideal primer booleà, estrictament més feble. El teorema de la categoria de Baire, necessari per demostrar molts teoremes importants, també requereix una forma d'axioma d'elecció.

Punts de vista

L'anàlisi funcional inclou les següents tendències:

• Anàlisi abstracta. Un mètode d'anàlisi basat en grups topològics, anells topològics i espais vectorials topològics.

• La geometria dels espais de Banach conté molts temes. Un és l'enfocament combinatori relacionat amb Jean Bourgain; un altre és una caracterització dels espais de Banach en què es compleixen diverses formes de la llei dels grans nombres.

• Geometria no commutativa. Desenvolupada per Alain Connes, basant-se en part en nocions anteriors, com ara l'enfocament de George Mackey a la teoria ergòdica.

• Connexió amb la mecànica quàntica. Ja sigui definida de manera restringida com en la física matemàtica, o interpretada de manera àmplia per, per exemple, Israel Gelfand, per incloure la majoria de tipus de teoria de la representació.

Bibliografia

• Kosaku Yosida: Functional Analysis, Springer-Verlag, 6th edition, 1980
• Schechter, M.: Principles of Functional Analysis, AMS, 2nd edition, 2001
• Hutson, V., Pym, JS, Cloud MJ: Applications of Functional Analysis and Operator Theory, 2nd edition, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1
• Dunford, N. and Schwartz, J.T. : Linear Operators, General Theory, and other 3 volums, includes visualization charts
• Brezis, H.: Analyse fonctionnelle, Dunod
• Sobolev, SL: Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963
• Lebedev, L.P. and Vorovich, II: Functional anlysis in Mechanics, Springer-Verlag, 2002