Càlcul de variacions

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El càlcul de variacions és un problema matemàtic consistent a buscar màxims i mínims (o més generalment extrems relatius) de funcionals continus definits sobre algun espai funcional. Constitueixen una generalització del càlcul elemental de màxims i mínims de funcions reals d'una variable.

Formulació general[modifica | modifica el codi]

Un dels problemes típics en càlcul diferencial és el de trobar el valor de per al qual la funció assoleix un valor extrem (màxim o mínim). En el càlcul de variacions el problema és trobar una funció per la qual un funcional abast un valor extrem. El funcional està compost per una integral que depèn de , de la funció i algunes de les seves derivades.

On la funció pertany a algun espai de funcions (espai de Banach, espai de Hilbert), i tant ella com les seves derivades poden tenir restriccions.

Aquesta fórmula integral pot ser més complicada permetent ser un vector, i per tant incloent derivades parcials per .

Problemes històrics[modifica | modifica el codi]

Problema Isoperimètric[modifica | modifica el codi]

Article principal: Isoperimetria

Quina és l'àrea màxima que pot envoltar amb una corba de longitud donada?.

Exemple: Siguin dos punts en l'eix x on la distància entre ells està donada. És a dir . El problema de trobar una corba que maximitzi l'àrea entre ella i l'eix x seria:

Trobar una funció de manera que,

max

amb les restriccions

(longitud d'arc)

Braquistòcrona[modifica | modifica el codi]

El problema de la corba braquistòcrona es remunta a J. Bernoulli (1696). Es refereix a trobar una corba en el pla cartesià que vagi del punt l'origen de manera que un punt material que es llisca sense fricció sobre ella triga el menor temps possible a anar de l'origen. Usant principis de mecànica clàssica el problema pot formular-se com,

min

on g és la gravetat i les restriccions són, , . Cal notar que en hi ha una singularitat.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Nota[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Càlcul de variacions Modifica l'enllaç a Wikidata