Identitat de Beltrami

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Eugenio Beltrami (1835-1900)

La identitat de Beltrami, que porta el nom del matemàtic italià Eugenio Beltrami, és un cas especial de les equacions d'Euler-Lagrange en el càlcul de variacions.

Les equacions d'Euler-Lagrange serveixen per extremar l'acció de les funcions de la forma

on i són constants, i .[1]

Si , llavors les equacions d'Euler-Lagrange es redueixen a la identitat de Beltrami,

on C és una constant.[Nota 1][2]

Derivació[modifica]

La següent derivació de la identitat de Beltrami comença amb l'equació d'Euler-Lagrange,

Multiplicant els dos costats per u,

Segons la regla de la cadena,

on .

Reordenant això es produeixen

Per tant, substituint aquesta expressió per en la segona equació d'aquesta derivació,

Segons la regla del producte, l'últim terme es reexpressa com a

i reordenant,

Per al cas de , això es redueix a

de manera prenen els resultats de l'antiderivada en la identitat de Beltrami,

on C és una constant.[Nota 2]

Aplicacions[modifica]

Solució al problema de la braquistòcrona[modifica]

La solució al problema de la braquistòcrona és la cicloide

Un exemple d'aplicació de la identitat de Beltrami és el problema de la braquistòcrona, que consisteix a trobar la corba que minimitza la integral

L'integrand

no depèn explícitament de la variable d'integració , de manera que s’aplica la identitat de Beltrami,

Substituint per i simplificant,

que es pot resoldre amb el resultat posat en forma d’equacions paramètriques

amb sent la meitat de la constant anterior, , i essent una variable. Aquestes són les equacions paramètriques per a una cicloide.[Nota 3]

Notes[modifica]

  1. Per tant, la transformada de Legendre del lagrangià, del hamiltonià, és constant al llarg del camí dinàmic.
  2. Aquesta derivació de la identitat de Beltrami correspon a la de Weisstein, Eric W. «Beltrami Identity» (en anglès). MathWorld.
  3. Aquesta solució del problema de la braquistòcrona correspon a la de Mathews, Jon; Walker, RL. Mathematical Methods of Physics (en anglès). New York: W. A. Benjamin, Inc., 1965, p. 307-309. 

Referències[modifica]

  1. Courant, R; Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics (en anglès). I. Nova York: Interscience Publishers, Inc., 1953. ISBN 978-0471504474. 
  2. Weisstein, Eric W. «Euler-Lagrange Differential Equation» (en anglès). MathWorld.