Regla de la cadena

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En càlcul infinitesimal, la regla de la cadena és una fórmula per a calcular la derivada de la composició de dues funcions.

De forma intuïtiva, si una variable, y, depèn d'una segona variable, u, i aquesta alhora depèn d'una tercera variable, x, llavors la velocitat de canvi de y respecte de x es pot calcular com la velocitat de canvi de y respecte de u multiplicada per la velocitat de canvi de u respecte de x.

Plantejament informal[modifica | modifica el codi]

La regla de la cadena diu que, si es compleixen les condicions adequades,

Això de forma resumida s'escriu .

De forma alternativa, emprant la notació de Leibniz,

La contrapartida en càlcul integral de la regla de la cadena és la regla de substitució.

Teorema[modifica | modifica el codi]

La regla de la cadena d'una variable es pot definir de forma més precisa tal com segueix.[1] Sia f una funció real sobre (a,b) que és diferenciable a c ∈ (a,b); i g una funció real definida sobre un interval I que conté el rang de fi f(c) com a un punt interior. Si g és derivable a f(c), llavors

  • és derivable a x=c, i

Exemples[modifica | modifica el codi]

Exemple I[modifica | modifica el codi]

Suposant els cas on, hom està pujant a un cim a una velocitat de 0.5 kilòmetres per hora. La temperatura és més baixa a alçades més grans; Suposant que el ritme a què baixa la temperatura és de 6 °C per kilòmetre. Si es multiplica 6 °C per kilòmetre per 0.5 kilòmetres per hora, s'obté 3 °C per hora. Aquest càlcul és una aplicació típica de la regla de la cadena.

Exemple II[modifica | modifica el codi]

Considerant . Es té on i Així doncs,

Per a calcular la derivada de la funció trigonomètrica

Es pot escriure amb i .

La regla de la cadena dona

Donat que i .

Exemple III[modifica | modifica el codi]

Deriveu , etc.

Regla de la cadena per a diverses variables[modifica | modifica el codi]

La regla de la cadena també funciona per a funcions de més d'una variable. Si les funcions on i , i i són derivables respecte de , llavors

Suposant que cada funció de és una funció de dues variables tal que and , i suposant que totes aquestes funcions siguin derivables. Llavors la regla de la cadena adopta la següent forma:


Si es considera com una funció vectorial, es pot emprar la notació vectorial per a escriure l'equivalent de l'anterior escrivint el producte escalar del gradient de f per la derivada parcial de :

De forma més general, per a funcions vectorials de diverses variables, la regla de la cadena diu que el jacobià de la funció compsició és el producte de les matrius Jacobianes de les dues funcions:

Demostració de la regla de la cadena[modifica | modifica el codi]

Sian f i g funcions i sia x un nombre tal que f és derivable al punt g(x) i g és derivable al punt x. Llavors per la definició de derivada,

on quan

De forma similar,

on quan

Ara

on . S'observa que i , Així . Per tant

Demostració alternativa[modifica | modifica el codi]

Tenim una funció . Per la definició de derivada tenim que:

Multiplicant a dalt i a baix per obtenim:

Aplicant la definició de derivada un altre cop, tenim que:

Generalització de la regla de la cadena[modifica | modifica el codi]

La regla de la cadena és una propietat fonamental de totes les definicions de derivada i per tant és vàlida en contextos molt més generals. Per exemple, si E, F i G són espai de Banach (els quals inclouen l’Espai euclidià) i f : EF i g : FG són funcions, i si x és un element de E tal que f is derivable al punt x i g is derivable al punt f(x), llavors la derivada (la derivada de Fréchet) de la funció composta g o f al punt x ve donada per

Fixeu-vos que en aquest cas les derivades són aplicacions lineals. No nombres. Si les aplicacions lineals es representen com a matrius (jacobians), la composició del cantó dret es transforma en una multiplicació de matrius.

Tensors i la regla de la cadena[modifica | modifica el codi]

Vegeu camp tensorial per a una explicació avançada del paper que juga la regla de la cadena a la natura dels tensors.

Derivades d'ordre superior[modifica | modifica el codi]

La fórmula de Faà di Bruno generalitza la regla de la cadena a derivades d'ordre superior. Unes quantes de les primeres derivades són

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Apostol, Tom. Mathematical analysis. 2a ed.. Addison Wesley, 1974, p. Theorem 5.5.