Gradient (matemàtiques)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En càlcul vectorial, el gradient \nabla f d'un camp escalar f és un camp vectorial que indica en cada punt del camp escalar la direcció del màxim increment d'ell mateix. El gradient es representa mitjançant l'operador diferencial nabla \nabla seguit de la funció.

Definició[modifica | modifica el codi]

Un gradient d'un camp escalar en un punt és el vector definit com l'únic que permet trobar la derivada direccional en qualsevol direcció com a


\frac{\partial \phi}{\partial n} = (\rm grad \phi)\cdot \hat n

on \hat n és un vector unitari i \partial\phi/\partial n la derivada direccional de \phi en la direcció de \hat n (que informa sobre la raó de variació del camp escalar al desplaçar-nos segons aquesta direcció):


\frac{\partial \phi}{\partial n} \equiv \lim_{\epsilon\to 0} 
\frac{\phi(\vec r + \epsilon \hat{n})-\phi(\vec r)}{\epsilon}

Una forma equivalent de definir el gradient és com l'únic vector que, multiplicat per qualsevol desplaçament infinitesimal, dóna el diferencial del camp escalar


d\phi = \phi\left(\vec r + d\vec r\right)-\phi\left(\vec r\right) = \nabla\phi\cdot d\vec r

Amb la definició anterior, el gradient està caracteritzat de forma unívoca.

El gradient s'expressa alternativament mitjançant l'ús de l'operador nabla


{\rm grad}\phi = \nabla\phi

Propietats[modifica | modifica el codi]

El gradient verifica que:

  • És ortogonal a les superfícies definides per \phi\,\! = ct.
  • Apunta en la direcció en que la derivada direccional és màxima.
  • El seu mòdul és igual a la derivada direccional màxima.
  • S'anul·la en els punts estacionaris màxims, mínims.
  • El camp format pel gradient en cada punt és sempre irrotacional, és a dir, \nabla\times(\nabla\phi) \equiv \vec{0}

Expressió en diferents sistemes de coordenades[modifica | modifica el codi]

A partir de la definició de gradient, es pot trobar l'expressió en diferents sistemes de coordenades. Així, en coordenades cartesianes, és

\nabla \phi = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial \phi}{\partial x}}, 
{\frac{\partial \phi}{\partial y}}, 
{\frac{\partial \phi}{\partial z}}
\end{pmatrix}

En un sistema de coordenades ortogonals, el gradient necessita els factors d'escala, mitjançant l'expressió


\nabla\phi = \frac{1}{h_1}\frac{\partial \phi}{\partial q_1}\hat{q}_1
+\frac{1}{h_2}\frac{\partial \phi}{\partial q_2}\hat{q}_2+
\frac{1}{h_3}\frac{\partial \phi}{\partial q_3}\hat{q}_3

Per coordenades cilíndriques (h_\rho=h_z=1, h_\varphi=\rho) resulta


\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho}
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+
\frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}

i finalment per coordenades esfèriques (h_r=1, h_\theta=r, h_\varphi=r {\rm sin}\theta)


\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{r}
+\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{\theta}+
\frac{1}{r\,{\rm sin}\,\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}

Exemple[modifica | modifica el codi]

Donada la funció \phi=2x+3y^2-\sin(z), el seu gradient associat és:

\nabla \phi = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial \phi}{\partial x}}, 
{\frac{\partial \phi}{\partial y}}, 
{\frac{\partial \phi}{\partial z}}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
{2}, 
{6y},
{-\cos(z)}
\end{pmatrix}.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]