Continuïtat uniforme

En anàlisi matemàtica una funció $f(x)$ es diu que és uniformement contínua si petits canvis en el valor de $x$ produeixen petits canvis en el valor de la funció (continuïtat) i la grandària dels canvis en $f(x)$ depèn únicament de la grandària dels canvis en $x$ però no del valor de $x$ (uniforme).

Definició

Donats dos espais mètrics $(X,d_{X})$ i $(Y,d_{Y})$, i $M\subseteq X$ llavors una funció $f:M\to Y$ es diu uniformement contínua en $M$ si per a qualsevol nombre real $\varepsilon >0$ existeix $\delta >0$ tal que $d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta$, implica que $d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon$ per a tot $x_{1},x_{2}\in M$.

Una funció $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ és uniformement contínua en un interval $A$ si per a tot $\varepsilon >0$ existeix algun $\delta >0$ tal que per a tot $x,y\in A$ es compleix que si $|x-y|<\delta$, llavors $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

A diferència de la continuïtat, on el valor de $\delta$ depèn del punt $x$, en les funcions uniformement contínues, no.${\displaystyle }$

Notem que el concepte de continuïtat uniforme fa referència sempre a un conjunt de punts. Que una funció sigui uniformement contínua en un conjunt o no depèn tant de la funció com del conjunt. La funció $f(x)=\ln x$ no és uniformement contínua a $(0,+\infty )$, però sí que ho és a $[1,10]$.

Exemples

• La funció ${\frac {1}{x}}$ amb $x>0$ és contínua però no uniformement contínua.
• La funció $x$ és uniformement contínua en l'interval [0,1].
• Tot polinomi $p:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R}$ de grau major o igual que u és uniformement continu en un interval tancat.${\displaystyle }$

Resultats

• De la definició es dedueix que tota funció uniformement contínua és contínua. El contrari (tota funció contínua és uniformement contínua) no és cert.

Exemple: Si $x\in \mathbb {R} ^{+}$ i $f(x)={\frac {1}{x}}$. $f(x)$ és contínua i no és uniformement contínua. No obstant això, es verifica que:

"Si $M$ és un espai mètric compacte i $Y$ un espai mètric, llavors tota funció contínua $f:M\rightarrow Y$ és uniformement contínua. En particular, tota funció contínua sobre un interval tancat i fitat és uniformement contínua en aquest interval." (Teorema de Heine-Cantor)

• Si $\{x_{n}\}$ és una successió de Cauchy continguda en el domini de $f$ (no necessàriament convergent) i $f$ és una funció uniformement contínua, llavors $\{f(x_{n})\}$ també és una successió de Cauchy.
• Tota funció Lipschitz contínua és uniformement contínua.