Continuïtat uniforme

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En anàlisi matemàtica una funció es diu que és uniformement contínua si petits canvis en el valor de produeixen petits canvis en el valor de la funció (continuïtat) i la grandària dels canvis en depèn únicament de la grandària dels canvis en però no del valor de (uniforme).

Definició[modifica]

Donats dos espais mètrics  i , i  llavors una funció  es diu uniformement contínua en si per a qualsevol nombre real  existeix  tal que , implica que  per a tot .


Una funció és uniformement contínua en un interval si per a tot existeix algun tal que per a tot es compleix que si , llavors .[1][2]


A diferència de la continuïtat, on el valor de depèn del punt , en les funcions uniformement contínues, no.

Notem que el concepte de continuïtat uniforme fa referència sempre a un conjunt de punts. Que una funció sigui uniformement contínua en un conjunt o no depèn tant de la funció com del conjunt. La funció no és uniformement contínua a , però sí que ho és a .

Exemples[modifica]

  • La funció amb és contínua però no uniformement contínua.
  • La funció és uniformement contínua en l'interval [0,1].
  • Tot polinomi de grau major o igual que u és uniformement continu en un interval tancat.

Resultats[modifica]

  • De la definició es dedueix que tota funció uniformement contínua és contínua. El contrari (tota funció contínua és uniformement contínua) no és cert.

Exemple: Si i . és contínua i no és uniformement contínua. No obstant això, es verifica que:

"Si és un espai mètric compacte i un espai mètric, llavors tota funció contínua és uniformement contínua. En particular, tota funció contínua sobre un interval tancat i fitat és uniformement contínua en aquest interval." (Teorema de Heine-Cantor)

  • Si és una successió de Cauchy continguda en el domini de (no necessàriament convergent) i és una funció uniformement contínua, llavors també és una successió de Cauchy.
  • Tota funció Lipschitz contínua és uniformement contínua.

Notes i referències[modifica]

  1. Spivak, Michael. Cálculo infinitesimal. 2a edició. Reverté, 1992. ISBN 84-7739-518-7. 
  2. Perelló, Carles. Càlcul infinitesimal : amb mètodes numèrics i aplicacions (en català). Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994. ISBN 84-7739-518-7.