Funció Lipschitz

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Dins l'entorn de la matemàtica, una funció f: MN entre espais mètrics M i N és anomenada Lipschitz contínua (o es diu que satisfà una condició de Lipschitz) si existeix una constant K > 0 tal que d (f(x), f(i)) ≤ K d(x, i) per a tot x i i a M. En aquest cas, K és anomenada la constant Lipschitz de la funció. El nom ve del matemàtic alemany Rudolf Lipschitz.

Característiques i resultats principals[modifica | modifica el codi]

  • Si U és un subconjunt del espai mètric M i f : UR és una funció Lipschitz contínua a valors reals, aleshores sempre hi ha una funció Lipschitz contínua MR que estén f i té la mateixa constant Lipschitz que f . (vegeu també teorema de Kirszbraun).
  • Una funció Lipschitz contínua f : IR , on I és un interval En R , és gairebé per tot diferenciable (sempre, excepte en un conjunt de mesura de Lebesgue zero). Si K és la constant Lipschitz de f , llavors| (f ') ( x )|≤ K atès que la derivada existeixi. Contràriament, si f : IR és una funció diferenciable amb derivada fitada,| (f ') ( x )|≤ L per a tota x a I , llavors f és Lipschitz contínua amb constant Lipschitz KL , una conseqüència de l'teorema del valor mitjà.

Definicions relacionades[modifica | modifica el codi]

Aquestes definicions es requereixen en el Teorema de Picard-Lindelof i en resultats relacionats amb ell.

  • Localitat Lipschitz : Donats M, N, espais mètrics, es diu que una funció  f: M \longrightarrow N és localment Lipschitz si per a tot punt de M existeix un entorn on la funció compleix la condició Lipschitz.
  • Funció Lipschitz respecte una variable : Donats M, N, L espais mètrics, es diu que una funció  \begin{matrix}f: M \times N \to L \\
(T, x) \mapsto f (t, x) \end{matrix} és localment Lipschitz respecte  x \, si compleix la condició Lipschitz per punts de N.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Sigui  f: X \rightarrow \mathbb{R} Lipchitz contínua, particularitzant per a una funció lineal del tipus  f (x) = ax+b\,, només cal prendre  \delta = \frac{\varepsilon}{|a|} i es demostra. De passada s'obté la continuïtat uniforme.

En el cas de  f (x) = x^2 , aquesta és Lipschitz contínua però no uniformement contínua ja que si x>\frac{1}{\delta} y y=x+\frac{\delta}{2}, llavors |x-y|<\delta y |f(x)-f(y)|=x\delta+\frac{\delta^2}{4}>x\delta>1.

Referències[modifica | modifica el codi]