Aplicació contractiva

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Dins l'anàlisi matemàtica, una contracció, funció o aplicació contractiva entre dos espais mètrics (X, dX) i (Y, dY) és una funció o aplicació f de X en Y, per a la qual hi ha un nombre real positiu k inferior a 1 tal que, per qualssevol elements u i v de X,

dY(f(u), f(v)) ≤ k dX(u, v).

És a dir, les funcions contractives són les funcions lipschitzianes la constant de Lipschitz de les quals és menor que 1.

El valor més petit de k pel qual es compleix la condició anterior s'anomena constant de Lipschitz de f. Si la condició anterior se satisfà per k ≤ 1 (notem que k pot ser igual a 1), llavors hom diu que l'aplicació és no expansiva.

Tota aplicació contractiva és una funció de Lipschitz i, per tant, uniformement contínua (per a una funció contínua Lipschitz, la constant k ja no ha de ser necessàriament més petita que 1).

Una aplicació contractiva té, com a màxim, un punt fix. Addicionalment, el teorema del punt fix de Banach afirma que tota aplicació contractiva sobre un espai mètric complet no buit té un únic punt fix, i que per a qualsevol x de M, la successió de funcions iterades x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... convergeix al punt fix. Aquest concepte és força útil a l'hora de demostrar l'existència de solucions d'equacions diferencials ordinàries, i s'utilitza en una demostració del teorema de la funció inversa.[1]

Aplicació firmement no expansiva[modifica | modifica el codi]

Una aplicació no expansiva amb es pot reforçar cap a una aplicació firmement no expansiva sobre un espai de Hilbert H si se satisfà la següent condició per a qualssevol x i y de H:

on

Aquest és un cas especial dels operadors no expansius de mitjana amb .[2] Una aplicació firmement no expansiva sempre és no expansiva, com a conseqüència de la desigualtat de Cauchy-Schwarz.

Aplicació subcontractiva[modifica | modifica el codi]

Una aplicació subcontractiva o un subcontractor és una aplicació f sobre un espai mètric (M,d) tal que

No s'ha pogut entendre (error de sintaxi): {\displaystyle d(f(f(x)),f(x)) < d(f(x),x) \quad \text{excepte} \quad x = f(x) \. }

Si la imatge d'un subcontractor f és compacta, llavors f té un punt fix.[3]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Theodore Shifrin, Multivariable Mathematics, Wiley, 2005, ISBN 0-471-52638-X, pp. 244–260.
  2. Solving monotone inclusions via compositions of nonexpansive averaged operators, Patrick L. Combettes, 2004
  3. Goldstein (1967) p.17

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7 provides an undergraduate level introduction.
  • Goldstein, A.A.. Constructive real analysis. New York-Evanston-London: Harper and Row, 1967. 
  • Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5
  • William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2

Vegeu també[modifica | modifica el codi]