Forma bilineal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Siguin V \, i W \, objectes matemàtics qualsevol, tots dos amb estructura lineal, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un altre objecte K amb estructura aritmètica. Típicament V \, i W \, són dos K-mòduls, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un anell K, o dos espais vectorials, igualment l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un cos K. Una forma bilineal \omega és una aplicació

\omega: V \times W \longrightarrow K \,

del producte cartesià dels objectes V \, i W \, a l'objecte K \, que compleix el requeriment de linealitat a les dues components:



\omega(\lambda x + \mu y, z) = \lambda \omega(x, z) + \mu \omega(y, z)
\,,\quad x, y \in V \,,\quad z \in W \,,\quad \lambda, \mu \in K
\,


\omega(x, z\lambda + t\mu) = \omega(x, z)\lambda + \omega(x, t)\mu
\,,\quad x \in V \,,\quad z, t \in W \,,\quad \lambda, \mu \in K
\,

Notació[modifica | modifica el codi]

Si \omega és una forma bilineal i x \in V i y \in W, hom sol usar la notació


\langle x, y \rangle_{\omega}
\,

per expressar el valor \omega(x, y)\, de la forma \omega\, en la parella (x, y)\,, és a dir, \langle x, y \rangle_{\omega} = \omega(x, y) \, i, si en el context no hi ha ambigüitat, hom pot prescindir del símbol que nombra la forma \omega :


\langle x, y \rangle
\,

Formes bilineals degenerades i no degenerades[modifica | modifica el codi]

Els conjunts


N_{V} = \left\{x \in V, \forall y \in W, \langle x, y \rangle = 0\right\}
\,,\quad
N_{W} = \left\{y \in W, \forall x \in V, \langle x, y \rangle = 0\right\}
\,

són els submòduls nuls (subespais nuls) de la forma bilineal. Si N_{V} = \{0\} \, i N_{W} = \{0\} \, aleshores la forma bilineal es diu no degenerada i degenerada en cas contrari. Si la forma és degenerada i \pi_{V}: V \longrightarrow V/N_{V} \, i \pi_{W}: W \longrightarrow W/N_{W} \, són les respectives projeccions canòniques, la forma bilineal


\tilde{\omega}: V/N_{V} \times W/N_{W} \longrightarrow K
\,


\langle \pi_{V}(x), \pi_{W}(y) \rangle = \langle x, y \rangle
\,

és no degenerada.

Formes bilineals simètriques i alternades[modifica | modifica el codi]

Si V = W \, i K \, és commutatiu, té sentit definir com a forma bilineal simètrica aquella que compleix


\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle
\,

i com a forma bilineal alternada la que compleix


\forall x \in V, \quad \langle x, x \rangle = 0 \in K
\,

Per a una forma bilineal alternada, si x, y \in V \,, tenim


\begin{align}
0 &= \langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x + y \rangle + \langle y, x + y \rangle = \\
&= \langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle = \\
&= \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle
\end{align}
\,

que implica


\langle x, y \rangle = - \langle y, x \rangle
\,

En canvi, de l'última igualtat no es pot deduir que \langle x, x \rangle = 0 \,, si no és que la característica de K \, és diferent de 2: la condició \langle x, x \rangle = 0 \, és, doncs, més restrictiva que la condició \langle x, y \rangle = - \langle y, x \rangle.

Matriu d'una forma bilineal[modifica | modifica el codi]

Si V \, i W \, són mòduls lliures finitament generats, o bé, espais vectorials de dimensió finita i \mathcal{B}_V = \left\{v_1, \ldots v_m \right\} i \mathcal{B}_W = \left\{w_1, \ldots w_n \right\} en són bases respectives, una forma bilineal \omega: V \times V^{\ast} \longrightarrow K \, queda determinada pels m \times n valors


\langle v_i, w_j \rangle_{\omega}
\,,\quad
i = 1, \ldots, m
\,,\quad
j = 1, \ldots, n
\,

Si es disposen aquests m \times n valors en una matriu de n files i m columnes,


M = \left(\langle v_i, w_j \rangle_{\omega}\right)
\,,\quad
i = 1, \ldots, m
\,,\quad
j = 1, \ldots, n
\,

aleshores el càlcul de \langle v, w \rangle_{\omega} és


\langle v, w\rangle = w^{T} M v
\,

on w^{T} és el transposat de w, és a dir, amb les components escrites en una fila, en lloc de en una columna.

En canvi, si la matriu és de m files i n columnes, és a dir, la matriu transposada de la matriu M, el càlcul és


\langle v, w\rangle = v^{T} M^{T} w
\,


Exemples[modifica | modifica el codi]

L'àrea d'un paral·lelogram[modifica | modifica el codi]

Sigui V_2 l'espai vectorial dels vectors del pla sobre el cos dels nombres reals i sigui \mathcal{B} \, una base d'aquest espai. L'aplicació que fa correspondre a cada parella de vectors l'àrea del paral·lelogram que determinen, mesurada tot prenent l'àrea del paral·lelogram que determinen els vectors de la base \mathcal{B} \, com a unitat de mesura és una forma bilineal V_2 \times V_2 \longrightarrow \mathbb{R} . Com que, a més, un vector qualsevol i ell mateix determinen un paral·lelogram d'àrea zero, es tracta d'una forma bilineal alternada, que no és altra que el determinant de dos vectors de V_2.

El producte escalar euclidià[modifica | modifica el codi]

El producte escalar en un espai euclidià és una forma bilineal simètrica. En efecte, si escrivim el producte \vec{x} \cdot \vec{y} \, en la forma \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle \,, pròpia de les formes bilineals, les propietats del producte escalar i tenim en compte la conmutativitat de \mathbb{R},


(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z
\,,\quad
x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z
\,


(\lambda x) \cdot y = x \cdot (\lambda y) = \lambda (x \cdot y)
\,


x \cdot y = y \cdot z
\,

obtenim


\langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle 
\,,\quad
\langle x, (y + z) \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle 
\,


\langle \lambda x, y \rangle = \langle x, \lambda y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle 
\,


\langle x, y \rangle = \langle y, z \rangle
\,

i és clar que es tracta d'una forma bilineal simètrica.

Còniques i quàdriques[modifica | modifica el codi]

Una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de n variables:


\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} P_{ij} x_{i} x_{j} + \sum_{k=1}^{n} Q_{k} x_{k} + R = 0
\,

L'estudi i la classificació de cada quàdrica se sol fer a partir de l'estudi de la forma bilineal simètrica de matriu


\begin{pmatrix}
P_{11} & P_{12}/2 & \ldots & P_{1n}/2 \\
P_{21}/2 & P_{22} & \ldots & P_{2n}/2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
P_{n1}/2 & P_{n2}/2 & \ldots & P_{nn}
\end{pmatrix}
\,

obtinguda a partir dels coeficients dels termes de segon grau de l'equació de la quàdrica en estudi.

Mòduls o espais duals[modifica | modifica el codi]

Si V és un >K-mòdul i V^{\ast} és el seu mòdul dual, l'aplicació


\omega: V \times V^{\ast} \longrightarrow K
\,


\langle x, \varphi \rangle_{\omega} = \langle x, \varphi \rangle
\,

que a la parella (x, \varphi) li fa correspondre el valor \langle x, \varphi \rangle de la forma \varphi en l'element x \in V és òbviament una forma bilineal.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]