Forma bilineal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Siguin i objectes matemàtics qualsevol, tots dos amb estructura lineal, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un altre objecte amb estructura aritmètica. Típicament i són dos -mòduls, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un anell , o dos espais vectorials, igualment l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un cos . Una forma bilineal és una aplicació

del producte cartesià dels objectes i a l'objecte que compleix el requeriment de linealitat a les dues components:


Notació[modifica | modifica el codi]

Si és una forma bilineal i i , hom sol usar la notació

per expressar el valor de la forma en la parella , és a dir, i, si en el context no hi ha ambigüitat, hom pot prescindir del símbol que nombra la forma  :

Formes bilineals degenerades i no degenerades[modifica | modifica el codi]

Els conjunts

són els submòduls nuls (subespais nuls) de la forma bilineal. Si i aleshores la forma bilineal es diu no degenerada i degenerada en cas contrari. Si la forma és degenerada i i són les respectives projeccions canòniques, la forma bilineal

és no degenerada.

Formes bilineals simètriques i alternades[modifica | modifica el codi]

Si i és commutatiu, té sentit definir com a forma bilineal simètrica aquella que compleix

i com a forma bilineal alternada la que compleix

Per a una forma bilineal alternada, si , tenim

que implica

En canvi, de l'última igualtat no es pot deduir que , si no és que la característica de és diferent de 2: la condició és, doncs, més restrictiva que la condició .

Matriu d'una forma bilineal[modifica | modifica el codi]

Si i són mòduls lliures finitament generats, o bé, espais vectorials de dimensió finita i i en són bases respectives, una forma bilineal queda determinada pels valors

Si es disposen aquests valors en una matriu de files i columnes,

aleshores el càlcul de és

on és el transposat de , és a dir, amb les components escrites en una fila, en lloc de en una columna.

En canvi, si la matriu és de files i columnes, és a dir, la matriu transposada de la matriu , el càlcul és


Exemples[modifica | modifica el codi]

L'àrea d'un paral·lelogram[modifica | modifica el codi]

Sigui l'espai vectorial dels vectors del pla sobre el cos dels nombres reals i sigui una base d'aquest espai. L'aplicació que fa correspondre a cada parella de vectors l'àrea del paral·lelogram que determinen, mesurada tot prenent l'àrea del paral·lelogram que determinen els vectors de la base com a unitat de mesura és una forma bilineal . Com que, a més, un vector qualsevol i ell mateix determinen un paral·lelogram d'àrea zero, es tracta d'una forma bilineal alternada, que no és altra que el determinant de dos vectors de .

El producte escalar euclidià[modifica | modifica el codi]

El producte escalar en un espai euclidià és una forma bilineal simètrica. En efecte, si escrivim el producte en la forma , pròpia de les formes bilineals, les propietats del producte escalar i tenim en compte la commutativitat de ,

obtenim

i és clar que es tracta d'una forma bilineal simètrica.

Còniques i quàdriques[modifica | modifica el codi]

Una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de n variables:

L'estudi i la classificació de cada quàdrica se sol fer a partir de l'estudi de la forma bilineal simètrica de matriu

obtinguda a partir dels coeficients dels termes de segon grau de l'equació de la quàdrica en estudi.

Mòduls o espais duals[modifica | modifica el codi]

Si és un -mòdul i és el seu mòdul dual, l'aplicació

que a la parella li fa correspondre el valor de la forma en l'element és òbviament una forma bilineal.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]