Quàdrica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic. Si les coordenades d'aquest espai són, l'equació de qualsevol quàdrica en aquest espai serà: , en què no tots els valors de són iguals a . En general, els coeficients d'aquesta equació seran valors de qualsevol cos, sobre el qual s'ha definit l'espai vectorial. Malgrat això, a partir d'ara, només considerarem quàdriques sobre el cos .

Còniques[modifica | modifica el codi]

En el cas concret que , les quàdriques resultants prenen el nom de còniques, i l'anterior equació pren la forma: . El nom de còniques prové del fet que es pot demostrar que qualsevol cònica és la intersecció d'un cert con per un determinat pla. L'equació anterior es pot escriure de la forma matricial següent:

En què:

Segons la forma canònica que adopti la matriu, trobem les diferents solucions que tenen les còniques ( són valors reals, diferents de ):

el·lipse imaginària
el·lipse real
dues rectes imaginàries no paral·leles
hipèrbola
dues rectes reals no paral·leles
paràbola
dues rectes imaginàries paral·leles
dues rectes reals paral·leles
dues rectes coincidents
una recta real

També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot el pla.

Quàdriques[modifica | modifica el codi]

Més amunt, hi ha la definició general de quàdrica. Però, normalment, s'entén per quàdrica el cas concret en què . En aquest cas, la matriu , serà: de la forma: Si

l'equació de la quàdrica serà també:

Si es classifiquen les seves formes canòniques, es troba la llista següent:

el·lipsoide imaginari El·lipsoide
el·lipsoide real
con imaginari
hiperboloide d'un full
hiperboloide de dos fulls
con real
paraboloide el·líptic Paraboloide el·líptic
superfície cilíndrica imaginària
superfície cilíndrica el·líptica
dos plans imaginaris no paral·lels
paraboloide hiperbòlic Paraboloide hiperbòlic
superfície cilíndrica hiperbòlica
dos plans reals no paral·lels
superfície cilíndrica parabòlica
dos plans imaginaris paral·lels
dos plans reals paral·lels
dos plans reals coincidents
un pla únic real

També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot l'espai.


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Quàdrica Modifica l'enllaç a Wikidata