El·lipse

Una el·lipse^[1] és el lloc geomètric dels punts del pla per als quals és constant la suma de les distàncies a dos punts interiors fixos denominats focus, que regeixen l'excentricitat de l'el·lipse:

L'equació d'una el·lipse centrada en el punt (0,0) és:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

on a és la semidistància de l'eix d'abscisses de l'el·lipse, mentre que b és la semidistància sobre l'eix d'ordenades.

L'àrea que tanca aquesta el·lipse és:

{\text{Àrea}}=\pi \cdot a\cdot b

Si a=b, l'el·lipse és una circumferència, i llavors l'àrea que tanca (el cercle) és simplement π·a².

La longitud o perímetre d'una el·lipse es pot aproximar de manera raonable amb la fórmula de Rivera, en la qual s'utilitza el valor del «semieix major» (a) i el valor del «semieix menor» (b) de l'el·lipse. Expressió aproximada del perímetre o longitud d'una el·lipse:

Fórmula de Rivera:

$L\approx 3{\bigl (}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{\bigr )}+{\bigl (}a+b{\bigr )}$

En el cas límit on b = 0, la fórmula dona el valor exacte L = 4a.

L'excentricitat de l'el·lipse (e) s'obté:^[1]

e={\frac {c}{a}}

on

c^{2}=a^{2}-b^{2}

L'el·lipse és la corba cònica tancada que s'obté en la intersecció d'una superfície cònica amb un pla oblic a l'eix del con quan aquest pla no és paral·lel a cap generatriu del con.^[1]

Definició com a lloc geomètric

El·lipse: Definició per suma de distàncies entre punts

Una el·lipse es pot definir geomètricament com un conjunt o lloc de punts en el pla euclidià:

Donats dos punts fixos $F_{1},F_{2}$ anomenats focus i una distància $2a$ que és més gran que la distància entre els focus, l'el·lipse és el conjunt de punts $P$ de manera que la suma de les distàncies $|PF_{1}|,\ |PF_{2}|$ es igual a $2a$ : $E=\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,|PF_{2}|+|PF_{1}|=2a\}\ .$

El·lipse: definició per focus i directriu circular

El punt mitjà $C$ del segment de línia que uneix els focus s'anomena centre de l'el·lipse. La línia a través dels focus s'anomena eix major, i la línia perpendicular a aquesta a través del centre és l'eix menor. L'eix major intersecciona l'el·lipse als punts del vèrtex $V_{1},V_{2}$ , que tenen la distància $a$ al centre. La distància $c$ dels focus al centre s'anomena distància focal o excentricitat lineal. El quocient $e={\tfrac {c}{a}}$ és l'excentricitat.

El cas $F_{1}=F_{2}$ produeix un cercle i s'inclou com un tipus especial d'el·lipse.

L'equació $|PF_{2}|+|PF_{1}|=2a$ es pot visualitzar d'una altra manera (vegeu la figura):

Si $c_{2}$ és el cercle amb el migpunt $F_{2}$ i el radi $2a$ , després la distància d'un punt $P$ al cercle $c_{2}$ és igual a la distància amb el focus $F_{1}$ : $|PF_{1}|=|Pc_{2}|.$

El $c_{2}$ s'anomena directriu circular (relacionada amb l'enfocament $F_{2}$ ) de l'el·lipse.^[2]^[3] Aquesta propietat no s'ha de confondre amb la definició d'una el·lipse mitjançant una línia de directriu següent.

Utilitzant esferes de Dandelina, es pot demostrar que qualsevol secció plana d'un con amb un pla és una el·lipse, suposant que el pla no conté l'àpex i té una inclinació inferior a la de les línies del con.

Òrbites astronòmiques

Molts objectes celestes (per exemple els planetes i cometes periòdics del sistema solar) segueixen òrbites el·líptiques.

Si l'energia orbital és negativa, l'òrbita pren la forma d'una el·lipse, amb el cos massiu situat sobre un dels seus focus. Pel fet de ser una corba tancada, el moviment d'un cos en una òrbita el·líptica és periòdic (es repeteix cíclicament). El temps que el cos en òrbita triga a recórrer l'òrbita completa s'anomena període de revolució o període de l'òrbita. Està definit per l'expressió següent:

T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}

On a és el semieix major de l'òrbita. Dos altres paràmetres importants per aquest tipus d'òrbita són el radi de l'apoàpside i el radi del periàpside:

el radi de l'apoàpside és la distància entre el centre del cos al voltant del qual s'està orbitant i el punt més allunyat de l'òrbita:

r_{a}=a\cdot (1+e)

el radi del periàpside és la distància entre el centre del cos al voltant del qual s'està orbitant i el punt més proper de l'òrbita:

r_{p}=a\cdot (1-e)

On e és l'excentricitat de l'òrbita.

Les òrbites circulars (amb forma de cercle) són un tipus particular d'òrbites el·líptiques amb excentricitat nul·la (e=0).

La major part dels cometes tenen òrbites el·líptiques allargades (en forma d'oval) i relativament propincs al Sol per una part de la seva òrbita i, seguidament, cap a l'abast del sistema solar per a la resta. Els cometes són sovint classificats segons la durada del seu període orbital, el més llarg és el període més perllongat de l'el·lipse.

Tensió de Von Mises i Superfície de fluència

La figura 4 mostra la superfície de fluència de von Mises en un espai bidimensional, en comparació amb el criteri de Tresca-Guest. La secció del cilindre de von Mises en el pla $\sigma _{1},\sigma _{2}$ determina una forma el·líptica de la superfície de fluència.^[4]^[5]^[6]

Aplicacions

Les formes el·líptiques aplicades a objectes reals permeten obtenir resultats estètics o físics més o menys desitjats.

Arquitectura i jardineria

Un exemple típic d'un edifici de forma aproximadament el·líptica és el Colosseu.^[7]

El jardí The Ellipse (a vegades anomenat President's Park South) té una forma el·líptica.

Acústica

De forma simplificada: les ones sonores emeses en un dels focus d'una cambra el·líptica es dispersen i es tornen a concentrar en l'altre focus.^[8] Aquesta propietat fou aprofitada per a defensar formes arquitectòniques basades en la el·lipse.^[9]^[10] Els resultats pràctics no sempre foren els desitjats.
Altaveus el·líptics.^[11]

Òptica

Els miralls el·líptics es fan servir en diversos dissenys òptics.^[12]

Transmissions mecàniques

Hi ha engranatges el·líptics per a diverses aplicacions.^[13]

Ciclisme

Hi ha tècnics i usuaris que defensen els plats el·líptics.^[14]

Aparells de gimnàstica

Hi ha diverses màquines el·líptiques que permeten variar els exercicis de les màquines circulars.^[15]^[16]^[17]

Suspensions de vehicles de motor

Molts elements de suspensió (en el passat i encara actualment) es basen en les molles de ballesta. Les denominacions «ballestes el·líptiques» i «ballestes semi-el·líptiques» es relacionen amb una semblança d'aspecte dels models reals amb les formes geomètriques.^[18]

Aerodinàmica

El concepte d'ala el·líptica té una gran importància en certs models d'avions.^[19]^[20]^[21]

Vegeu també

Ala el·líptica

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 «El·lipse». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia.
↑ Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. New Horizons in Geometry. The Mathematical Association of America, 2012, p. 251. ISBN 978-0-88385-354-2.
↑ The German term for this circle is Leitkreis which can be translated as "Director circle", but that term has a different meaning in the English literature (see Director circle).
↑ Leckie, Frederick A.; Bello, Dominic J. Strength and Stiffness of Engineering Systems. Springer Science & Business Media, 2009-04-29. ISBN 978-0-387-49474-6.
↑ Krenk, Steen; Høgsberg, Jan. Statics and Mechanics of Structures. Springer Science & Business Media, 2013-03-02. ISBN 978-94-007-6113-1.
↑ SACKFIELD, A.; Hills, D. A.; Nowell, D. Mechanics of Elastic Contacts. Elsevier, 2013-10-22. ISBN 978-1-4832-9194-9.
↑ Daepp, Ulrich; Gorkin, Pamela; Shaffer, Andrew [et al.].. Finding Ellipses: What Blaschke Products, Poncelet’s Theorem, and the Numerical Range Know about Each Other. American Mathematical Soc., 2018. ISBN 978-1-4704-4383-2.
↑ Clarke, Joseph L. Echo's Chambers: Architecture and the Idea of Acoustic Space. University of Pittsburgh Press, 2021-06-08. ISBN 978-0-8229-8803-8.
↑ León, Manuel de; Albornoz, Agustín Carrillo de. Cónicas: Historia de su independencia del cono (en castellà). Los Libros De La Catarata, 2020-12-11. ISBN 978-84-1352-115-2.
↑ Berettari (S.J.), Sebastiano; Eschinardi (S.J.), Franciscus; Gibbesius, Jacobus Albanus [et al.].. Athanasii Kircheri ... Phonurgia nova: sive Conjugium Mechanico-physicum artis & natvrae paranympha phonosophia Concinnatum; quâ universa sonorum natura, proprietas, vires effectuúmq[ue prodigiosorum causae, novâ & multiplici experimentorum exhibitione enucleantur; Instrumentorum acusticorum, machinarúmq[ue] ad naturae prototypon adaptandarum, tum ad sonos ad remotissima spatia propagandos, tum in abditis domorum recessibus per occultioris ingenii machinamenta clam palámve sermocinandi modus & ratio traditur, tum denique in bellorum tumultibus singularis hujusmodi organorum usus, & praxis per novam phonologiam describitur] (en llatí). per Rudolphum Dreherr, 1673.
↑ MANUEL, MILLAN ESTELLER, JUAN. Instalaciones de megafonía y sonorización (en castellà). Ediciones Paraninfo, S.A., 2012. ISBN 978-84-9732-891-3.
↑ Turrell, George; Corset, Jacques. Raman Microscopy: Developments and Applications. Academic Press, 1996-06-24. ISBN 978-0-08-054025-2.
↑ «Elliptical Gears and Their Applications, Speed Ratio, Changed Speed». Nanni Ingranaggi, Automatic Machine Components, Sine Wave, Spur Gears. [Consulta: 10 octubre 2025].
↑ «Platos Q Ring de ROTOR, revolucionando el entrenamiento en ciclismo» (en castellà). EsCiclismo.com, 27-02-2024. [Consulta: 10 octubre 2025].
↑ Prentice, William. Rehabilitation Techniques for Sports Medicine and Athletic Training. Taylor & Francis, 2024-06-01. ISBN 978-1-04-013546-4.
↑ Complete Body Fitness. GOFFYBLN.
↑ Phillips, Arthur. The Ultimate Guide To Selecting The Best Elliptical Machine: What To Look For. Speedy Publishing LLC, 2013-09-04. ISBN 978-1-63022-666-4.
↑ Corporation, Bonnier. Popular Science. Bonnier Corporation, 1964.
↑ Kundu, Ajoy Kumar; Price, Mark A.; Riordan, David. Conceptual Aircraft Design: An Industrial Approach. John Wiley & Sons, 2019-04-08. ISBN 978-1-119-50028-5.
↑ (anglès) K.C. Khurana, Aviation management: Global Perspectives, p.57
↑ Hurt, Hugh H. Aerodynamics for Naval Aviators. Office of the Chief of Naval Operations, Aviation Training Division, 1965. ISBN 978-0-89100-370-0.

Bibliografia

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: El·lipse

Besant, W.H.. «Chapter III. The Ellipse». A: Conic Sections. Londres: George Bell and Sons, 1907, p. 50.
Coxeter, H.S.M.. Introduction to Geometry. 2ª edició. Nova York: Wiley, 1969, p. 115–9.
Meserve, Bruce E. Fundamental Concepts of Geometry. Dover, 1983. ISBN 978-0-486-63415-9.
Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. Fundamentals of College Algebra. 3rd. Scott Foresman/Little, 1990, p. 381. ISBN 978-0-673-38638-0.

[gec-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 «El·lipse». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia.

[2] Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. New Horizons in Geometry. The Mathematical Association of America, 2012, p. 251. ISBN 978-0-88385-354-2.

[3] The German term for this circle is Leitkreis which can be translated as "Director circle", but that term has a different meaning in the English literature (see Director circle).

[g843-4] Leckie, Frederick A.; Bello, Dominic J. Strength and Stiffness of Engineering Systems. Springer Science & Business Media, 2009-04-29. ISBN 978-0-387-49474-6.

[j050-5] Krenk, Steen; Høgsberg, Jan. Statics and Mechanics of Structures. Springer Science & Business Media, 2013-03-02. ISBN 978-94-007-6113-1.

[h493-6] SACKFIELD, A.; Hills, D. A.; Nowell, D. Mechanics of Elastic Contacts. Elsevier, 2013-10-22. ISBN 978-1-4832-9194-9.

[b695-7] Daepp, Ulrich; Gorkin, Pamela; Shaffer, Andrew [et al.].. Finding Ellipses: What Blaschke Products, Poncelet’s Theorem, and the Numerical Range Know about Each Other. American Mathematical Soc., 2018. ISBN 978-1-4704-4383-2.

[r150-8] Clarke, Joseph L. Echo's Chambers: Architecture and the Idea of Acoustic Space. University of Pittsburgh Press, 2021-06-08. ISBN 978-0-8229-8803-8.

[a942-9] León, Manuel de; Albornoz, Agustín Carrillo de. Cónicas: Historia de su independencia del cono (en castellà). Los Libros De La Catarata, 2020-12-11. ISBN 978-84-1352-115-2.

[m488-10] Berettari (S.J.), Sebastiano; Eschinardi (S.J.), Franciscus; Gibbesius, Jacobus Albanus [et al.].. Athanasii Kircheri ... Phonurgia nova: sive Conjugium Mechanico-physicum artis & natvrae paranympha phonosophia Concinnatum; quâ universa sonorum natura, proprietas, vires effectuúmq[ue prodigiosorum causae, novâ & multiplici experimentorum exhibitione enucleantur; Instrumentorum acusticorum, machinarúmq[ue] ad naturae prototypon adaptandarum, tum ad sonos ad remotissima spatia propagandos, tum in abditis domorum recessibus per occultioris ingenii machinamenta clam palámve sermocinandi modus & ratio traditur, tum denique in bellorum tumultibus singularis hujusmodi organorum usus, & praxis per novam phonologiam describitur] (en llatí). per Rudolphum Dreherr, 1673.

[i955-11] MANUEL, MILLAN ESTELLER, JUAN. Instalaciones de megafonía y sonorización (en castellà). Ediciones Paraninfo, S.A., 2012. ISBN 978-84-9732-891-3.

[b576-12] Turrell, George; Corset, Jacques. Raman Microscopy: Developments and Applications. Academic Press, 1996-06-24. ISBN 978-0-08-054025-2.

[y320-13] «Elliptical Gears and Their Applications, Speed Ratio, Changed Speed». Nanni Ingranaggi, Automatic Machine Components, Sine Wave, Spur Gears. [Consulta: 10 octubre 2025].

[f875-14] «Platos Q Ring de ROTOR, revolucionando el entrenamiento en ciclismo» (en castellà). EsCiclismo.com, 27-02-2024. [Consulta: 10 octubre 2025].

[s906-15] Prentice, William. Rehabilitation Techniques for Sports Medicine and Athletic Training. Taylor & Francis, 2024-06-01. ISBN 978-1-04-013546-4.

[f330-16] Complete Body Fitness. GOFFYBLN.

[i555-17] Phillips, Arthur. The Ultimate Guide To Selecting The Best Elliptical Machine: What To Look For. Speedy Publishing LLC, 2013-09-04. ISBN 978-1-63022-666-4.

[y369-18] Corporation, Bonnier. Popular Science. Bonnier Corporation, 1964.

[f150-19] Kundu, Ajoy Kumar; Price, Mark A.; Riordan, David. Conceptual Aircraft Design: An Industrial Approach. John Wiley & Sons, 2019-04-08. ISBN 978-1-119-50028-5.

[20] (anglès) K.C. Khurana, Aviation management: Global Perspectives, p.57

[r546-21] Hurt, Hugh H. Aerodynamics for Naval Aviators. Office of the Chief of Naval Operations, Aviation Training Division, 1965. ISBN 978-0-89100-370-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

Registres d'autoritat	BNF (1) GND (1) LCCN (1)
Bases d'informació	GEC (1) Britannica (1) Larousse (1) SNL