Matriu transposada conjugada

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la matriu transposada conjugada d'una matriu A de dimensió m per n a entrades complexes és una matriu A* de dimensió n per m obtinguda a partir d'A prenent la seva transposada i després prenent el conjugat complex de cada entrada (és a dir, canviant de signe les parts imaginàries però no les parts reals). Formalment, la matriu transposada conjugada es defineix com:

on els subíndexs denoten l'entrada i,j-sima, per 1 ≤ in i 1 ≤ jm, i la barra denota una conjugació complexa. (El conjugat complex de , on a i b són reals, és .)

També podem escriure aquesta definició com:

on denota la transposada i denota la matriu amb entrades conjugades.

La matriu transposada conjugada d'una matriu A es pot denotar per qualsevol d'aquests símbols:

  • o , d'ús comú a l'àlgebra lineal
  • , d'ús estès a mecànica quàntica
  • , encara que aquest símbol s'usa més freqüentment a l'hora de denotar la pseudoinversa d'una matriu

En alguns contexts, denota la matriu amb entrades conjugades, i llavors la transposada conjugada s'escriu o .

Exemple[modifica | modifica el codi]

Si

llavors

Observacions[modifica | modifica el codi]

Una matriu quadrada A amb entrades s'anomena:

  • Hermítica o autoadjunta si A = A*, és a dir,  .
  • Antihermítica si A = −A*, és a dir,  .
  • Normal si A*A = AA*.
  • Unitària si A* = A-1.

Encara que A no sigui quadrada, les dues matrius A*A i AA* són totes dues hermítiques, i de fet són semidefinides positives.

Per trobar la transposada conjugada d'una matriu A a entrades reals, n'hi ha propu amb trobar-ne la transposada, ja que el conjugat complex d'un nombre real és el mateix nombre real.

Motivació[modifica | modifica el codi]

Una possible motivació per la definició del concepte de transposada conjugada rau en el fet que els nombres complexos es poden representar mitjançant matrius reals 2×2, amb les operacions habituals d'addició i producte matricials:

És a dir, estem representant cada nombre complex z per la matriu real 2×2 de la transformació lineal associada al diagrama d'Argand (vist com l'espai vectorial real2).

Una matriu m per n de nombres complexos pot representar-se, de forma anàloga, per una matriu 2m per 2n a entrades reals. La transposada conjugada sorgeix de forma natural com a simple transposició d'aquesta matriu, que pot visualitzar-se de nou com una matriu n per m a entrades complexes.

Propietats[modifica | modifica el codi]

  • (A + B)* = A* + B* per dues matrius qualssevol A i B de les mateixes dimensions.
  • (r A)* = r*A* per qualsevol complex r i qualsevol matriu A. Aquí, r* denota el conjugat complex de r.
  • (AB)* = B*A* per qualsevol matriu A m per n i qualsevol matriu B n per p. Notem que s'inverteix l'ordre dels factors.
  • (A*)* = A per qualsevol matriu A.
  • Si A és una matriu quadrada, llavors det(A*) = (det A)* i tr(A*) = (tr A)*
  • A és invertible si i només si A* és invertible, i en cas afirmatiu, (A*)−1 = (A−1)*.
  • Els valors propis de A* són els conjugats complexos dels valors propis de A.
  • per qualsevol matriu A m per n, qualsevol vector x de ℂn i qualsevol vector y de ℂm. Aquí, denota el producte escalar habitual a ℂm i ℂn.

Generalitzacions[modifica | modifica el codi]

La darrera propietat que hem vist ens mostra que si visualitzem A com una transformació lineal entre els espais de Hilbertn i ℂm, llavors la matriu A* correspon a l'operador adjunt de A. Així doncs, el concepte d'operador adjunt entre espais de Hilbert es pot veure com una generalització del concepte de matriu transposada conjugada.

Una altra generalització: suposem que A és una aplicació lineal d'un espai vectorial complex V a un altre, W. Llavors té sentit definir l'aplicació lineal conjugada i l'aplicació lineal transposada, i podem prendre la transposada conjugada de A com la conjugada complexa de la transposada de A. Així tenim una correspondència entre l'espai dual de W i el conjugat dual de V.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]