En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecta l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.
Sigui
una aplicació on
i
són dos
-espais vectorials.
Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogènia.
Si
és una aplicació lineal,
, i
es compleix:




- Si
també és una aplicació lineal, aleshores:
, també és una aplicació lineal.
Sigui

- S'anomenarà imatge de
al subespai vectorial de 



Matriu associada a una aplicació lineal
[modifica]
Siguin
i
dos espais vectorials de dimensió finita,
i
les seves respectives bases i
una aplicació lineal,
queda definida si es coneixen les coordenades de
en la base de
:
S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal
en les bases
i
Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de la imatge d'un vector:


Les coordenades de
en la base
de
són:


Composició d'aplicacions lineals
[modifica]
Donades dues aplicacions lineals
i
(on
,
i
són les bases de
,
i
) amb
i
com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu
és la matriu associada a l'aplicació



Sigui
una aplicació lineal amb la matriu
respecte a les bases
i
de
i
i la matriu
respecte a les bases
i
es pot escriure
com la següent composició

on
és la matriu del canvi de base de
a
i
és la matriu del canvi de base de
a
.
L'espai dual és l'espai de les aplicacions lineals que van de
a
.

Les aplicacions lineals a
s'anomenen formes, i a l'espai
se l'anomena espai dual de
, on
és el conjunt de totes les aplicacions lineals de
a
.
és un espai vectorial de la mateixa dimenió que
(si
té dimensió finita):


Donada una base de
, les aplicacions:
 |
 |
|
|
 |
|
|
 |
|
|
On
és l'aplicació,
és l'element i
és la funció delta de Kronecker.
Les aplicacions
formen una base de
que s'anomena base dual de
.
Suposem que
i
són bases diferents de
amb algun vector en comú (suposem que
), aleshores, en les dues bases duals
i
,
i
no tenen per què ser iguals.
Sigui
una base de
i
la seva base dual, les coordenades d'una forma qualsevol
en la base
són
.
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Per tot vector
de la base de
tenim:
Fixada una aplicació lineal
i
, al compondre un element
amb
, obtenim un element
:
Per tant, existeix una aplicació
que designarem per aplicació dual de
:

i té les següents propietats:


:

té per matriu associada
en les bases
i
de
i
respectivament.
tindrà una matriu associada
en les dues bases duals
i
de
i
respectivament.
La matriu de l'aplicació dual
en les bases duals és la matriu transposada de
.
