Aplicació lineal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecta l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.

Definicions[modifica | modifica el codi]

Sigui una aplicació on i són dos -espais vectorials.

és una aplicació lineal (o un morfisme de -espais vectorials) si:

Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogènia.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Si és una aplicació lineal, , i es compleix:

  • Si també és una aplicació lineal, aleshores:, també és una aplicació lineal.

Nucli i imatge[modifica | modifica el codi]

Sigui

  • S'anomenarà imatge de al subespai vectorial de

Teorema del rang[modifica | modifica el codi]

Teorema d'isomorfisme[modifica | modifica el codi]

Matriu associada a una aplicació lineal[modifica | modifica el codi]

Siguin i dos espais vectorials de dimensió finita, i les seves respectives bases i una aplicació lineal, queda definida si es coneixen les coordenades de en la base de :

S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal en les bases i

Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de la imatge d'un vector:

Les coordenades de en la base de són:

Composició d'aplicacions lineals[modifica | modifica el codi]

Donades dues aplicacions lineals i (on , i són les bases de , i ) amb i com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu és la matriu associada a l'aplicació


Demostració[modifica | modifica el codi]


Canvi de base[modifica | modifica el codi]

Sigui una aplicació lineal amb la matriu respecte a les bases i de i i la matriu respecte a les bases i es pot escriure com la següent composició

on és la matriu del canvi de base de a i és la matriu del canvi de base de a .

L'espai dual[modifica | modifica el codi]

L'espai dual és l'espai de les aplicacions lineals que van de a .

Les aplicacions lineals a s'anomenen formes, i a l'espai se l'anomena espai dual de , on és el conjunt de totes les aplicacions lineals de a .

és un espai vectorial de la mateixa dimenió que (si té dimensió finita):

Donada una base de , les aplicacions:

On és l'aplicació, és l'element i és la funció delta de Kronecker.

Les aplicacions formen una base de que s'anomena base dual de .

Observació[modifica | modifica el codi]

Suposem que i són bases diferents de amb algun vector en comú (suposem que ), aleshores, en les dues bases duals i , i no tenen per què ser iguals.

Proposició[modifica | modifica el codi]

Sigui una base de i la seva base dual, les coordenades d'una forma qualsevol en la base són .

Demostració[modifica | modifica el codi]

Per tot vector de la base de tenim:

Aplicacions duals[modifica | modifica el codi]

Fixada una aplicació lineal i , al compondre un element amb , obtenim un element :

Aplicació dual


Per tant, existeix una aplicació que designarem per aplicació dual de :

i té les següents propietats:

  • Lineal:
  • :

Relació entre matrius[modifica | modifica el codi]

  • té per matriu associada en les bases i de i respctivament.
  • tindrà una matriu associada en les dues bases duals i de i respctivament.

Proposició[modifica | modifica el codi]

La matriu de l'aplicació dual en les bases duals és la matriu transposada de .

Demostració[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Aplicació lineal Modifica l'enllaç a Wikidata