Forma lineal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Sigui V un objecte matemàtic qualsevol amb estructura lineal sobre un altre objecte K amb estructura aritmètica. Típicament V és un K-mòdul sobre un anell K, o un espai vectorial sobre un cos K. Una forma lineal és una aplicació

de l'objecte V a l'objecte K que compleix el requeriment de linealitat:

Si V és un espai vectorial, les formes lineals de V se solen anomenar també covectors, en contraposició al nom de "vectors" que hom fa servir per als elements de V.

Notació[modifica | modifica el codi]

Si és una forma lineal i x un element de V, de vegades s'empra la notació per expressar el valor de la forma en l'element x, és a dir, .

Objectes duals[modifica | modifica el codi]

El conjunt de les formes lineals de l'objecte V a l'objecte K és l'estructura lineal dual de V. Si V és un K-mòdul o un K-espai vectorial, llavors és, respectivament, el K-mòdul dual o l'espai vectorial dual.

Càlcul[modifica | modifica el codi]

Com que, en tots els casos, una forma lineal no és més que un homomorfisme de V a K, si V és un mòdul lliure finitament generat o un espai vectorial de dimensió finita, hom pot condensar tota la informació sobre una certa forma lineal ω en la matriu d'aquesta aplicació lineal. Si g1, g2, ..., gn són els vectors d'una base de V i prenem { 1K } com a base de K, la matriu de la forma lineal ω és

d'una fila i n columnes. Per aquest motiu, les formes lineals a espais vectorials també se solen anomenar vectors fila en contraposició als elements de l'espai que són els vectors columna.

El càlcul del valor de la forma ω en l'element de V donat per les coordenades v = λ1g1 + λ2g2 + ... + λngn es fa amb el producte habitual de matrius:

és a dir, es correspon amb un polinomi homogeni de grau 1 en n variables.


Vegeu també[modifica | modifica el codi]