Delta de Kronecker

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La delta de Kronecker és una convenció d'escriptura que serveix per expressar i valorar la igualtat o desigualtat entre dues variables. El símbol n'és la lletra grega delta δ i pren el nom del matemàtic Leopold Kronecker. Els valors de les variables, típicament elements de conjunts d'índexs, se solen posar com a subíndexs, δij, o en un superíndex i un subíndex: δji. Els valors són:

\delta_{ij} = \delta^{i}_{j} = \begin{cases}0, & \mbox{si } i \neq j \\
1, & \mbox{si } i = j \end{cases}

S'utilitza en molts àmbits de les matemàtiques, (per exemple la matriu identitat es pot escriure com a δij) però naturalment, l'ús de la delta de Kronecker es restringeix a aquells contextos en què els símbols 0 i 1 tinguin sentit, com són, per exemple, el conjunt ℕ dels nombres naturals, anells amb unitat o cossos.

Processament de senyals digitals[modifica | modifica el codi]

En processament de senyals digitals el mateix concepte és representat com una funció damunt \mathbb{Z} (enters):


\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0.\end{cases}

La funció es refereix com un impuls, o impuls de la unitat. I quan estimula un element del tractament de senyals, la sortida es diu la resposta d'impuls de l'element.

Propietats de la funció Delta[modifica | modifica el codi]

La Delta de Kronecker té la propietat per la qual j\in\mathbb Z:

\sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ij} =a_j.

Si els nombres enters es veuen com a espai de mesura, dotat amb la mesura de comptar, després aquesta propietat coincideix amb la propietat definida de la funció de delta de Dirac:

\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y),

De fet, la delta de Dirac va ser nomenada a causa de la delta de Kronecker a causa d'aquesta propietat anàloga. En el tractament de senyals és generalment el context (temps discret o continu) que distingeix les funcions de Kronecker i Dirac. I pel conveni, \delta(t)\, indica generalment el temps continu (Dirac), mentre que les discussions com a i, j, k, l, m, i n són generalment reservats per al temps discret (Kronecker). Una altra pràctica comuna és representar seqüències discretes amb els claudàtors; així:  \delta[n]\,. És important observar que el delta de Kronecker no és el resultat de mostrejar la funció de delta de Dirac. El delta de Kronecker s'utilitza en moltes àrees de les matemàtiques.

Àlgebra lineal[modifica | modifica el codi]

En àlgebra lineal, la matriu identitat es pot escriure com (\delta_{ij})_{i,j=1}^n\,.

Si es considera com a tensor, el tensor de Kronecker, pot ser escrit \delta^i_j

Un altre exemple del seu ús a l'àlgebra lineal és per la base canònica d'un espai vectorial, que compleix \vec e_i \cdot \vec e_j = \delta_{ij}