Matriu definida positiva

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

Dins l'entorn de l'àlgebra lineal, una matriu definida positiva és una matriu hermítica que és anàloga als nombres reals positius.

Definicions equivalents[modifica]

Sigui M una matriu hermítica quadrada n × n. D'ara endavant denotarem la transposada d'una matriu o vector com , i el conjugat transposat, . Aquesta matriu M es diu definida positiva si compleix amb una (i per tant, les altres) de les següents formulacions equivalents:

1. Per a tots els vectors no nuls hem de
.

Noteu que és sempre real.

2. Tots els valors propis de són positius. (Recordem que els valors propis d'una matriu hermítica o si no, real simètrica, són reals.)
3. La forma sesquilineal hermítica definida per la relació

és un producte escalar a .

4. Tots els menors principals de són positius. O el que és equivalent; totes les matrius tenen determinants positius.
  • La superior esquerra de M de dimensió 1x1
  • La superior esquerra de M de dimensió 2x2
  • La superior esquerra de M de dimensió 3x3
  • ...
  • La superior esquerra de M de dimensió (n-1) x (n-1)
  • en si mateixa

Anàlogament, si M és una matriu real simètrica, es reemplaça per , i la conjugada transposada per la transposada.

Propietats[modifica]

  • Tota matriu definida positiva és invertible (el seu determinant és positiu), i la seva inversa és definida positiva.
  • Si és una matriu definida positiva i és un nombre real, llavors és definida positiva.
  • Si i són matrius definides positives, aleshores la suma també ho és. A més si

, llavors és també definida positiva.

  • Per a tota matriu definida positiva , existeix una única matriu definida positiva tal que ; es denota i es diu arrel quadrada de .

Matrius definides negatives, semidefinides positives i indefinides[modifica]

La matriu hermítica (respectivament real simètrica) es diu:

- Definida negativa si per a tots els vectors (respectivament ) no nuls

- Semidefinida positiva si per a tot (respectivament )

- Semidefinida negativa si per a tot (respectivament ), en altres paraules si és semidefinida positiva

Una matriu hermítica es diu indefinida si no entra en cap de les classificacions anteriors.

Cas no hermític[modifica]

Una matriu real M pot tenir la propietat x T Mx > 0 per a tot vector real no nul sense ser simètrica. La matriu

és un exemple. En general, tindrem x T Mx > 0 per a tot vector real no nul x si i només si la matriu simètrica ( M + M T )/2, és definida positiva.