Matriu definida positiva

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Dins l'entorn de l'àlgebra lineal, una matriu definida positiva és una matriu hermítica que és anàloga als nombres reals positius.

Definicions equivalents[modifica | modifica el codi]

Sigui M una matriu hermítica quadrada n × n. D'ara endavant denotarem la transposada d'una matriu o vector com , i el conjugat transposat, . Aquesta matriu M es diu definida positiva si compleix amb una (i per tant, les altres) de les següents formulacions equivalents:

1. Per a tots els vectors no nuls hem de
.

Noteu que és sempre real.

2. Tots els valors propis de són positius. (Recordem que els valors propis d'una matriu hermítica o si no, real simètrica, són reals.)
3. La forma sesquilineal hermítica definida per la relació

és un producte escalar a .

4. Tots els menors principals de són positius. O el que és equivalent; totes les matrius tenen determinants positius.
  • La superior esquerra de M de dimensió 1x1
  • La superior esquerra de M de dimensió 2x2
  • La superior esquerra de M de dimensió 3x3
  • ...
  • La superior esquerra de M de dimensió (n-1) x (n-1)
  • en si mateixa

Anàlogament, si M és una matriu real simètrica, es reemplaça per , i la conjugada transposada per la transposada.

Propietats[modifica | modifica el codi]

  • Tota matriu definida positiva és invertible (el seu determinant és positiu), i la seva inversa és definida positiva.
  • Si és una matriu definida positiva i és un nombre real, llavors és definida positiva.
  • Si i són matrius definides positives, aleshores la suma també ho és. A més si

, llavors és també definida positiva.

  • Per a tota matriu definida positiva , existeix una única matriu definida positiva tal que ; es denota i es diu arrel quadrada de .

Matrius definides negatives, semidefinides positives i indefinides[modifica | modifica el codi]

La matriu hermítica (respectivament real simètrica) es diu:

- Definida negativa si per a tots els vectors (respectivament ) no nuls

- Semidefinida positiva si per a tot (respectivament )

- Semidefinida negativa si per a tot (respectivament ), en altres paraules si és semidefinida positiva

Una matriu hermítica es diu indefinida si no entra en cap de les classificacions anteriors.

Cas no hermític[modifica | modifica el codi]

Una matriu real M pot tenir la propietat x T Mx > 0 per a tot vector real no nul sense ser simètrica. La matriu

és un exemple. En general, tindrem x T Mx > 0 per a tot vector real no nul x si i només si la matriu simètrica ( M + M T )/2, és definida positiva.