Criteri de Sylvester

En matemàtiques el criteri de Sylvester és una condició necessària i suficient per determinar si una matriu simètrica o hermítica és definida positiva.

Donada una forma bilineal simètrica definida per una matriu $M_{n\times n}$ i pertanyent al conjunt $\mathbb {R} ^{n}$ dels nombres reals o bé una matriu hermítica, es considera que aquesta és definida o no per un signe (negatiu o positiu) de forma total o parcial en funció dels signes de la sèrie de menors principals $S(m_{i})$ de la pròpia matriu:

• Si tots els menors principals ($m_{i}$) de la matriu són majors que zero (definits positius) la matriu és definida positiva.
• Si tots els menors principals ($m_{i}$) de la matriu són majors o iguals que zero (semidefinits positius), la matriu és semidefinida positiva.
• Si tots els menors parells ($m_{i}$ sent i un numero parell) són majors que zero i els imparells ($m_{i}$ sent i un numero imparell) són menors que zero, la matriu és definida negativa.
• Si tots els menors parells ($m_{i}$ sent i un numero parell) són majors o iguals a zero i els imparells ($m_{i}$ sent i un numero imparell) són menors o iguals a zero, la matriu és semidefinida negativa.
• Si tots els menors principals ($m_{i}$) de la matriu són iguals a zero (nuls), la matriu és nul·la.
• Si la sèrie de menors $S(m_{i})$ no segueix cap dels criteris anteriors, la matriu no té un signe definit.