En teoria de la probabilitat , la distribució arcsinus és la distribució de probabilitat que té com a funció de distribució acumulativa:
F
(
x
)
=
2
π
arcsin
(
x
)
=
arcsin
(
2
x
−
1
)
π
+
1
2
{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}
per 0 ≤ x ≤ 1. La seva funció de densitat de probabilitat és:
f
(
x
)
=
1
π
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}
on (0, 1). La distribució arcsinus estàndard és un cas particular de la distribució beta amb α = β = 1/2. És a dir, si
X
{\displaystyle X}
X
∼
B
e
t
a
(
1
2
,
1
2
)
{\displaystyle X\sim {\rm {Beta}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}
La distribució arcsinus apareix a:
Suport de fita arbitrària [ modifica ] La distribució pot ser generalitzada per incloure qualsevol domini: a ≤ x ≤ b aplicant una simple transformació:
F
(
x
)
=
2
π
arcsin
(
x
−
a
b
−
a
)
{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}
amb a ≤ x ≤ b , i amb una funció de densitat de probabilitat
f
(
x
)
=
1
π
(
x
−
a
)
(
b
−
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}
Factor de forma [ modifica ] Arcsinus amb domini fitat Paràmetres
−
∞
<
a
<
b
<
∞
{\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}
Suport
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
fdp
f
(
x
)
=
1
π
(
x
−
a
)
(
b
−
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}
FD
F
(
x
)
=
2
π
arcsin
(
x
−
a
b
−
a
)
{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}
Mitjana
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
Mediana
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
Moda
x
∈
a
,
b
{\displaystyle x\in {a,b}}
Variància
1
8
(
b
−
a
)
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}}
Coeficient de simetria
0
{\displaystyle 0}
Curtosi
−
3
2
{\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}
La distribució arcsinus estàndard generalitzada en (0,1) amb una funció de densitat de probabilitat
f
(
x
;
α
)
=
sin
π
α
π
x
−
α
(
1
−
x
)
α
−
1
{\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}}
és també un cas particular de la distribució beta amb els paràmetres
B
e
t
a
(
1
−
α
,
α
)
{\displaystyle {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )}
Noti's que quan
α
=
1
2
{\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}
La distribució arcsinus té la propietat de translació i canvi d'escala per un factor positiu
Si
X
∼
A
r
c
s
i
n
e
(
a
,
b
)
then
k
X
+
c
∼
A
r
c
s
i
n
e
(
a
k
+
c
,
b
k
+
c
)
{\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(a,b)\ {\text{then }}kX+c\sim {\rm {Arcsine}}(ak+c,bk+c)}
El quadrat d'una distribució arcsinus amb paràmetres (-1, 1) és una distribució arcsinus sobre (0, 1)
Si
X
∼
A
r
c
s
i
n
e
(
−
1
,
1
)
then
X
2
∼
A
r
c
s
i
n
e
(
0
,
1
)
{\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(-1,1)\ {\text{then }}X^{2}\sim {\rm {Arcsine}}(0,1)}
Distribucions relacionades [ modifica ] Si U i V són variables aleatòries independents i distribuïdes idènticament i uniformes (−π,π), llavors
sin
(
U
)
{\displaystyle \sin(U)}
sin
(
2
U
)
{\displaystyle \sin(2U)}
−
cos
(
2
U
)
{\displaystyle -\cos(2U)}
sin
(
U
+
V
)
{\displaystyle \sin(U+V)}
sin
(
U
−
V
)
{\displaystyle \sin(U-V)}
A
r
c
s
i
n
e
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle {\rm {Arcsine}}(-1,1)}
Si
X
{\displaystyle X}
α
{\displaystyle \alpha }
X
−
a
b
−
a
∼
B
e
t
a
(
1
−
α
,
α
)
{\displaystyle {\frac {X-a}{b-a}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\ }
Distribucions discretes Distribucions discretes Distribucions contínues Distribucions contínues Distribucions contínues Distribucions contínues Barreja de distribució variable-contínua Distribució conjunta Direccionals Degenerada i singular Famílies
![{\displaystyle x\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a15936df283add394ab909aa7a5e24e7fb6bb2)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
