Distribució arcsinus

Distribució arcsinus

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat Funció de distribució acumulativa
Tipus	distribució univariant, distribució de probabilitat simètrica i distribució beta
Suport	$x\in [0,1]$
fdp	$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$
FD	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)$
Esperança matemàtica	${\frac {1}{2}}$
Mediana	${\frac {1}{2}}$
Moda	$x\in \{0,1\}$
Variància	${\tfrac {1}{8}}$
Coeficient de simetria	$0$
Curtosi	$-{\tfrac {3}{2}}$
Entropia	$\ln {\tfrac {\pi }{4}}$
FC	${}_{1}F_{1}({\tfrac {1}{2}};1;i\,t)\$

En teoria de la probabilitat, la distribució arcsinus és la distribució de probabilitat que té com a funció de distribució acumulativa:

$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}$

per 0 ≤ x ≤ 1. La seva funció de densitat de probabilitat és:

$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$

on (0, 1). La distribució arcsinus estàndard és un cas particular de la distribució beta amb α = β = 1/2. És a dir, si $X$ és la distribució arcsinus estàndard, llavors $X\sim {\rm {Beta}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}$.

La distribució arcsinus apareix a:

• en les lleis de l'arcsinus de Lévy;
• en la llei de l'arcsinus d'Erdős;
• en el mètode de Jeffreys per la probabilitat d'èxit en un assaig de Bernoulli.

Generalització

Suport de fita arbitrària

La distribució pot ser generalitzada per incloure qualsevol domini: a ≤ x ≤ b aplicant una simple transformació:

$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)$

amb a ≤ x ≤ b, i amb una funció de densitat de probabilitat

$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}$

Factor de forma

Arcsinus amb domini fitat

Tipus	distribució univariant, distribució de probabilitat simètrica i distribució beta
Paràmetres	$-\infty <a<b<\infty \,$
Suport	$x\in [a,b]$
fdp	$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}$
FD	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)$
Esperança matemàtica	${\frac {a+b}{2}}$
Mediana	${\frac {a+b}{2}}$
Moda	$x\in {a,b}$
Variància	${\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}$
Coeficient de simetria	$0$
Curtosi	$-{\tfrac {3}{2}}$

La distribució arcsinus estàndard generalitzada en (0,1) amb una funció de densitat de probabilitat

$f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}$

és també un cas particular de la distribució beta amb els paràmetres ${\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )$.

Noti's que quan $\alpha ={\tfrac {1}{2}}$ la distribució arcsinus general es redueix a la distribució estàndard llistada anteriorment.

Propietats

• La distribució arcsinus té la propietat de translació i canvi d'escala per un factor positiu
  • Si $X\sim {\rm {Arcsine}}(a,b)\ {\text{then }}kX+c\sim {\rm {Arcsine}}(ak+c,bk+c)$
• El quadrat d'una distribució arcsinus amb paràmetres (-1, 1) és una distribució arcsinus sobre (0, 1)
  • Si $X\sim {\rm {Arcsine}}(-1,1)\ {\text{then }}X^{2}\sim {\rm {Arcsine}}(0,1)$

Distribucions relacionades

• Si U i V són variables aleatòries independents i distribuïdes idènticament i uniformes (−π,π), llavors $\sin(U)$, $\sin(2U)$, $-\cos(2U)$, $\sin(U+V)$ i $\sin(U-V)$ tenen totes elles distribucions arcsinus ${\rm {Arcsine}}(-1,1)$.
• Si $X$ és una distribució arcsinus generalitzada amb paràmetres de forma $\alpha$ de domini l'interval finit [a,b] llavors ${\frac {X-a}{b-a}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\$

Vegeu també

• Inverses de les funcions trigonomètriques