Variància

En teoria de probabilitat, la variància d'una variable aleatòria indica la dispersió d'una variable aleatòria $X$ respecte de la seva mitjana $E[X]$. Es defineix com l'esperança de la transformació $\left(X-E[X]\right)^{2}$, això és

$V(X)=E\left[\left(X-E[X]\right)^{2}\right],$

on suposem que $E[X^{2}]<\infty$.

Està relacionada amb la desviació típica, que se sol designar amb la lletra grega $\sigma$ i que és l'arrel quadrada de la variància:

$\sigma ={\sqrt {V(X)}}.$

Propietats de la variància

1. $V(X)\geq 0$, i $V(X)=0$ si i només si $X$ és una constant quasi segurament
2. $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ essent $a$ i $b$ constants qualssevol.
3. $V(X)=E[X^{2}]-{\big (}E[X]{\big )}^{2}$.
4. Si $X$ i $Y$ són variables aleatòries independents, llavors $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
5. Desigualtat de Txebixev $P\left(\left|X-E[X]\right|\leq k\sigma \right)\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}$, per a qualsevol constant $k>0$.

Variables aleatòries sense variància

Pot ocórrer que una variable aleatòria no tingui esperança: per exemple, una variable amb distribució de Cauchy. Aleshores la formula $E{\big [}(X-E[X])^{2}{\big ]}$ no tindrà sentit. Es diu que la variància de $X$ no existeix.

D'altra banda, també pot passar que una variable $X$ tingui esperança, però que $E[X^{2}]=\infty$. Aleshores la fórmula de la variància es pot aplicar, però dóna $+\infty$. En aquest cas també es diu que la variància de $X$ no existeix o que és infinita. Una variable amb distribució t de Student amb dos graus de llibertat està en aquest cas.

Variància d'una població finita

En Estadística descriptiva es considera una població (de persones o de coses: també s'anomena univers o col.lectiu) finita, amb $N$ elements, i es mesura una característica numèrica. Els resultats, iguals o diferents, es designen per $x_{1},\dots ,x_{N}$. La mitjana o mitjana aritmètica es defineix per

${\overline {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{N}}{N}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.$

La variància es defineix per

$v={\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}+\cdots +(x_{N}-{\overline {x}})^{2}}{N}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$

En general, en les observacions hi ha nombres repetits i només tenim $K$ valors diferents,que escriurem $x_{1},\dots ,x_{K}$, de manera que els $N$ nombres es resumeixen en unataula de freqüències:

Valor	Freqüència absoluta	Freqüència relativa
$x_{1}$	$F_{1}$	$f_{1}$
$x_{2}$	$F_{2}$	$f_{2}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$x_{k}$	$F_{K}$	$f_{K}$
TOTAL	$N$	$1$

on $F_{i}$ és la freqüència absoluta de la dada $x_{i}$, és a dir, el nombre de vegades que surt aquesta dada, i $f_{i}=F_{i}/N$ és la freqüència relativa. Aleshores la mitjana es calcula per la fórmula

${\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{K}x_{i}F_{i}=\sum _{i=1}^{K}x_{i}f_{i},$

i la variància per

$v={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{K}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}F_{i}=\sum _{i=1}^{K}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}f_{i}.$

Atès que la variància de la població descrita per la taula anterior coincideix amb la variància d'una variable aleatòria discreta que prengui els valors $x_{1},\dots ,x_{K}$ amb probabilitats $f_{1},\dots ,f_{K}$, les propietats i fórmules que hem comentat als apartats anteriors també serveixen per aquest cas. Aleshores, per la Propietat 3 de la variància, tenim la fórmula

$v={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{K}x_{i}^{2}F_{i}-({\overline {x}})^{2}=\sum _{i=1}^{K}x_{i}^{2}f_{i}-({\overline {x}})^{2}.$

Aquesta fórmula és útil per a calcular la variància amb les dades tabulades. Per exemple, utilitzant freqüències absolutes tenim

$x$	$F$	$xF$	$x^{2}$	$x^{2}F$
$x_{1}$	$F_{1}$	$x_{1}F_{1}$	$x_{1}^{2}$	$x_{1}^{2}F_{1}$
$x_{2}$	$F_{2}$	$x_{2}F_{2}$	$x_{2}^{2}$	$x_{2}^{2}F_{2}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$x_{K}$	$F_{K}$	$x_{K}F_{K}$	$x_{K}^{2}$	$x_{K}^{2}F_{K}$
TOTAL	$N$	$\sum _{i=1}^{K}x_{i}F_{i}$		$\sum _{i=1}^{K}x_{i}^{2}F_{i}$

Llavors dividint el total de la tercera columna per $N$ s'obté ${\overline {x}}$, i dividint el total de la cinquena columna per $N$ s'obté l'altre terme que intervé en la fórmula de la variància.

Per a Variància poblacional i variància mostral vegeu la pàgina desviació tipus.

Vegeu també

• Desviació típica o desviació estàndard
• Esperança matemàtica o valor esperat
• Homoscedasticitat

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Variància