Variància

En teoria de probabilitat i estadística, la variància indica la dispersió d'una variable aleatòria $X$$X$ de la seva mitjana $E[X]$$E[X]$. Es defineix com l'esperança de la transformació $\left(X-E[X]\right)^{2}$$\left(X-E[X]\right)^{2}$, això és

$V(X)=E\left[\left(X-E[X]\right)^{2}\right]$$V(X)=E\left[\left(X-E[X]\right)^{2}\right]$

Està relacionada amb la desviació, que se sol definir amb la lletra grega σ i que és l'arrel quadrada de la variància:

$\sigma ={\sqrt {V(X)}}\;\!$$\sigma ={\sqrt {V(X)}}\;\!$ o bé $\sigma ^{2}=V(X)\;\!$$\sigma ^{2}=V(X)\;\!$

Propietats de la variància

Algunes propietats de

1. $V(X)\geq 0$$V(X)\geq 0$, propietat que permet que la definició de desviació típica sigui consistent.
2. $V(aX+b)=a^{2}V(X)$$V(aX+b)=a^{2}V(X)$ essent a i b constants qualsevols.
3. $V(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}$$V(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}$
4. Si X i Y són variables aleatòries independents, llavors $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
5. Desigualtat de Chebyshev $P\left(\left|X-E[X]\right|\leq k\sigma \right)\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}$$P\left(\left|X-E[X]\right|\leq k\sigma \right)\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}$, per a qualsevol constant K més gran que 0.

Variància mostral

Dins de l'estadística descriptiva, la variància mostral s'utilitza com mesura de dispersió, i la seva definició és:

$s^{2}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}{n}}$$s^{2}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}{n}}$

Mètode abreujat:

$s^{2}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}$$s^{2}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}$

També s'expressa com la diferència entre el moment d'ordre 2 i el quadrat del valor esperat:

$V(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}\;$$V(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}\;$

Mentre que la desviació estàndard es pot interpretar com el terme mitjà de la distància de cada punt respecte de la mitjana, la variància està amidada en "unitats al quadrat".

Vegeu també

• Desviació típica o desviació estàndard
• Esperança matemàtica o valor esperat
• Homoscedasticitat

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Variància