Variància

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En teoria de probabilitat, la variància d'una variable aleatòria [1] indica la dispersió d'una variable aleatòria respecte de la seva mitjana . Es defineix com l'esperança de la transformació , això és

on suposem que .

Està relacionada amb la desviació típica, que se sol designar amb la lletra grega i que és l'arrel quadrada de la variància:

Propietats de la variància[modifica]

  1. , i si i només si és una constant quasi segurament
  2. essent i constants qualssevol.
  3. .
  4. Si i són variables aleatòries independents, llavors
  5. Desigualtat de Txebixev , per a qualsevol constant .

Variables aleatòries sense variància[modifica]

Pot ocórrer que una variable aleatòria no tingui esperança: per exemple, una variable amb distribució de Cauchy. Aleshores la formula no tindrà sentit. Es diu que la variància de no existeix.

D'altra banda, també pot passar que una variable tingui esperança, però que . Aleshores la fórmula de la variància es pot aplicar, però dóna . En aquest cas també es diu que la variància de no existeix o que és infinita. Una variable amb distribució t de Student amb dos graus de llibertat està en aquest cas.


Variància d'una població finita[modifica]

En Estadística descriptiva [2]es considera una població (de persones o de coses: també s'anomena univers o col.lectiu) finita, amb elements, i es mesura una característica numèrica. Els resultats, iguals o diferents, es designen per . La mitjana o mitjana aritmètica es defineix per

La variància es defineix per

En general, en les observacions hi ha nombres repetits i només tenim valors diferents,que escriurem , de manera que els nombres es resumeixen en unataula de freqüències:


Valor Freqüència

absoluta

Freqüència

relativa

TOTAL

on és la freqüència absoluta de la dada , és a dir, el nombre de vegades que surt aquesta dada, i és la freqüència relativa. Aleshores la mitjana es calcula per la fórmula

i la variància per

Atès que la variància de la població descrita per la taula anterior coincideix amb la variància d'una variable aleatòria discreta que prengui els valors amb probabilitats , les propietats i fórmules que hem comentat als apartats anteriors també serveixen per aquest cas. Aleshores, per la Propietat 3 de la variància, tenim la fórmula

Aquesta fórmula és útil per a calcular la variància amb les dades tabulades. Per exemple, utilitzant freqüències absolutes tenim

TOTAL

Llavors dividint el total de la tercera columna per s'obté , i dividint el total de la cinquena columna per s'obté l'altre terme que intervé en la fórmula de la variància.


Per a Variància poblacional i variància mostral vegeu la pàgina desviació tipus.


Referències[modifica]

  1. Chung, Kai Lai. Teoría elemental de la probabilidad y de los procesos estocásticos, cap . 6. Editorial Reverté, 1983. 
  2. Lobez Urquía, J.; Casa Aruta, E.. Estadística intermedia. Segunda edición. Vicens-Vives, 1975. 

Vegeu també[modifica]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Variància Modifica l'enllaç a Wikidata