Distribució conjunta

En el camp de la probabilitat, donades dues variables aleatòries X i Y, la distribució conjunta de X i Y és la distribució de probabilitat de la intersecció d'esdeveniments associats a X i Y, és a dir, dels esdeveniments X = x i Y = y passant de forma simultània. En el cas de només dues variables aleatòries s'anomena una distribució bivariada, però el concepte es generalitza a qualsevol nombre de variables aleatòries.

Cas discret

Per a variables aleatòries discretes, la funció de probabilitat conjunta aquesta donada per:

${\begin{aligned}\mathrm {P} (X=x\ \mathrm {i} \ Y=y)&{}=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)\\&{}=\mathrm {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y).\end{aligned}}$${\begin{aligned}\mathrm {P} (X=x\ \mathrm {i} \ Y=y)&{}=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)\\&{}=\mathrm {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y).\end{aligned}}$

Donades aquestes probabilitats, s'ha de:

$\sum _{x}\sum _{y}\mathrm {P} (X=x\ \mathrm {i} \ Y=y)=1.\;$$\sum _{x}\sum _{y}\mathrm {P} (X=x\ \mathrm {i} \ Y=y)=1.\;$

Cas continu

De forma semblant que per a les variables aleatòries discretes, la funció de densitat de probabilitat conjunta es pot escriure com f _{X, Y} ( x, y ) tenint :

$f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)=f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\;$$f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)=f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\;$

On f _{Y | X} ( y | x ) i f _{X | Y} ( x | y ) donen la distribució condicional d Y donat X = x i de X donat Y = y respectivament, i f _X ( x ) i f _Y ( y ) donada la distribució marginal per X i Y respectivament.

De nou, donat que són distribucions de probabilitat:

$\int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx=1.$$\int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx=1.$

Vegeu també

• xarxa bayesiana