Distribució conjunta

En el camp de la probabilitat, donades dues variables aleatòries X i Y , la distribució conjunta de X i Y és la distribució de la intersecció d'esdeveniments associats a X i Y , és a dir, dels esdeveniments X = x i Y = y passant de forma simultània. En el cas de només dues variables aleatòries s'anomena una distribució bivariada, però el concepte es generalitza a qualsevol nombre de variables aleatòries.

Cas discret

Per a variables aleatòries discretes, la funció de probabilitat conjunta aquesta donada per:

$\begin{align} \mathrm{P}(X=x\ \mathrm{i}\ Y=y) & {} = \mathrm{P}(Y=y \mid X=x) \cdot \mathrm{P}(X=x) \\ & {} = \mathrm{P}(X=x \mid Y=y) \cdot \mathrm{P}(Y=y). \end{align}$

Donades aquestes probabilitats, s'ha de:

$\sum_x\sum_y\mathrm{P}(X = x\ \mathrm{i}\ Y = y) = 1.\;$

Cas continu

De forma semblant que per a les variables aleatòries discretes, la funció de densitat de probabilitat conjunta es pot escriure com f _{X , Y} ( x , y ) tenint :

$f_{X, Y}(x, y) = f_{Y|X}(y|x) f_X (x) = f_{X|Y}(x|y) f_Y (y)\;$

On f _{Y | X} ( y | x ) i f _{X | Y} ( x | y ) donen la distribució condicional d ' Y donat X = x i de X donat Y = y respectivament, i f _X ( x ) i f _Y ( y ) donada la distribució marginal per X i Y respectivament.

De nou, donat que són distribucions de probabilitat:

$\int_x\int_y f_{X, Y}(x, y)\, dy\, dx = 1.$

Vegeu també

• Xarxes bayesianes