Distribució de Rademacher

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Rademacher
Suport
FD
Mitjana
Mediana
Moda N/A
Variància
Coeficient de simetria
Curtosi
Entropia
FGM
FC
Modifica les dades a Wikidata

En teoria de la probabilitat i estadística, la distribució de Rademacher (que rep el nom de Hans Rademacher) és una distribució de probabilitat discreta en què la variable aleatòria X té un 50% de probabilitats de ser +1 i un 50% de probabilitats de ser -1.[1]

Una sèrie de variables distribuïdes segons Rademacher com un camí aleatori simple i simètric en què la mida de la passa és 1-

Formulació matemàtica[modifica]

La funció de massa de probabilitat d'aquesta distribució és:

En termes de la funció delta de Dirac, es pot expressar com:

Fita de Van Zuijlen's[modifica]

Van Zuijlen va demostrar el següent resultat.[2]

Sigui Xi un conjunt de variables aleatòries independents distribuïdes segons Rademacher, llavors:

La fita és més forta i millor que la que es pot derivar de la distribució normal (aproximadament Pr > 0.31).

Fites en les sumes[modifica]

Sigui {xi} un conjunt de variables aleatòries distribuïdes segons Rademacher i {ai} una seqüència de nombres reals. Llavors:

on ||a||2 és la norma euclidiana de la seqüència {ai}, t > 0 és un nombre real i Pr(Z) és la probabilitat de l'esdeveniment Z.[3]

Sigui Y = Σ xiai i Y una sèrie gairebé segurament convergent a l'espai de Banach. Llavors, per t > 0 i s ≥ 1 es té:[4]

per una certa constant c.

Sigui p un nombre real positiu. Llavors, segons la desigualtat de Khintchine:[5]

on c1 i c2 són constants que només depenen de p.

Per p ≥ 1,

Aplicacions[modifica]

La distribució de Rademacher s'ha usat en bootstrapping i per demostrar que distribuït de manera normal i incorrelat no implica independent.

Vectors aleatoris amv components mostrejats independentment de la distribució de Rademacher són útils en diverses en aproximacions estocàstiques, per exemple:

  • L'estimador de rastre de Hutchinson,[6] que es pot usar eficientment per aproximar la traça d'una matriu els elements dels quals no són accessible de forma directa, sinó que estan definits de forma implícita a través de productes de matrius amb vectors.
  • Aproximació estocàstica de perturbació simultània, una aproximació estocàstica de gradient, de baix cost computacional i sense derivades útil en l'optimització matemàtica.

Distribucions relacionades[modifica]

  • Distribució de Bernoulli: Si X segueix una distribució de Rademacher, llavors té una distribució de Bernoulli(1/2).
  • Distribució de Laplace: Si X segueix una distribució de Rademacher i Y ~ Exp(λ), llavors XY ~ Laplace(0, 1/λ).

Referències[modifica]

  1. Hitczenko, P.; Kwapień, S. «On the Rademacher series». A: Probability in Banach Spaces. 35, 1994, p. 31–36. DOI 10.1007/978-1-4612-0253-0_2. 
  2. van Zuijlen, Martien C. A. «On a conjecture concerning the sum of independent Rademacher random variables». , 2011. arXiv: 1112.4988. Bibcode: 2011arXiv1112.4988V.
  3. Montgomery-Smith, S. J. «The distribution of Rademacher sums». Proc Amer Math Soc, 109, 1990, pàg. 517–522. DOI: 10.1090/S0002-9939-1990-1013975-0.
  4. Dilworth, S. J.; Montgomery-Smith, S. J. «The distribution of vector-valued Radmacher series». Ann Probab, 21, 4, 1993, pàg. 2046–2052. JSTOR: 2244710.
  5. Khintchine, A. «Über dyadische Brüche». Math. Z., 18, 1, 1923, pàg. 109–116. DOI: 10.1007/BF01192399.
  6. Avron, H.; Toledo, S. «Randomized algorithms for estimating the trace of an implicit symmetric positive semidefinite matrix». Journal of the ACM, 58, 2, 2011, pàg. 8. DOI: 10.1145/1944345.1944349.