Sèrie (matemàtiques)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
La sèrie geomètrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... convergeix a 2.

En matemàtiques, una sèrie és la suma dels termes d'una successió. Normalment es representa una sèrie amb termes com on és l'índex final de la sèrie. Les sèries infinites són aquelles on el subíndex agafa el valor d'absolutament tots els nombres naturals, és a dir, .

En l'àmbit del càlcul infinitesimal, se solen classificar les sèries en dos tipus. Es diu que una sèrie per convergeix (o, equivalentment, que és sumable) si per algun . A aquest se l'anomena suma de la sèrie. D'altra banda, es diu que la sèrie divergeix en la resta de casos.[1] Quan és un espai euclidià, s'anomenen sèries oscil·latòries a aquelles que no tenen límit a la compactació de (l'adherència de ).[2]

L'estudi de les sèries és un dels àmbits principals de l'anàlisi matemàtica i els seus resultats són vitals per múltiples disciplines, incloent-hi la física, la computació, l'estadística i l'economia.

Introducció intuïtiva[modifica | modifica el codi]

Serveixi com a exemple la sèrie següent, que anomenarem S:

.

Aquesta sèrie es pot escriure de manera compacta amb la notació de sumatoris com segueix: .

Notem que les regles de la suma habitual (associativitat, commutativitat i distributivitat) poden portar a contradiccions a l'hora d'aplicar-les a sumes infinites. Continuant amb l'exemple anterior, es pot veure com agrupant els termes de diverses maneres s'obtenen resultats diferents. Una possibilitat seria aquesta:

i una altra podria ser aquesta:

O, fins i tot:

Amb aquest exemple tan senzill es pot veure que les regles usuals de la suma no poden aplicar-se en sumes amb un nombre infinit de termes. És per aquest motiu que s'usa una definició diferent pel terme "suma" quan es tracta amb sèries d'infinits termes.

Definició[modifica | modifica el codi]

Per tota successió d'elements (ja siguin nombres reals, complexos, funcions, etc.) la seva sèrie associada es defineix com la suma formal:

.

També es defineix la seqüència de sumes parcials associada a amb termes

Aleshores, definim la suma de la sèrie com el límit (si existeix)

Aquesta definició posa de manifest la raó per la qual les sèries convergents també se solen anomenar sumables. De fet, podem reescriure l'expressió anterior com

En general podem definir l'aplicació

Un resultat molt útil a l'hora de manipular les sèries és el següent:

"Sigui tota sèrie es pot descompondre com una suma finita més una sèrie residual com ."

En efecte aquest resultat és conseqüència directa de la definició, ja que

La utilitat d'aquest resultat és el fet que la classificació de la sèrie és la mateixa que la sèrie (Això també es veu clar a partir de la definició que s'ha donat a l'inici sobre la classificació de les sèries) i, en conseqüència, si fem un nombre finit de canvis a la sèrie això no afecta a la seva classificació ja que, al fer un nombre finit de canvis sempre podrem trobar un número prou gran perquè tots els canvis que s'hagin fet estiguin dins la suma .


Propietats[modifica | modifica el codi]

Propietat associativa[modifica | modifica el codi]

Hem vist al donar la introducció intuïtiva que al aplicar la propietat associativa a les sèries podem arribar a contradiccions, per això és molt important saber quan és possible aplicar aquesta propietat i quan no.

"La propietat associativa només és aplicable a sèries convergents i sèries divergents no oscil·latòries. Aplicar-la a sèries oscil·latòries pot portar a contradiccions."

Podem definir la propietat associativa (de forma burda, la definició correcta és aquesta) com la possibilitat de posar parells de parèntesis () on vulguem sense que això afecti al resultat de la suma.

Analitzem que passa si, a la sèrie hi posem un nombre finit de parèntesis. Pel que hem vist a l'apartat anterior, podem trobar un nombre suficientment gran tal que tots els parèntesis que posem estiguin inclosos dins la suma finita , com que aquesta és una suma finita (i la propietat associativa es compleix en una suma finita) és clar que el resultat de la sèrie no es veu afectat (sense importar el tipus de sèrie del que es tracti). El cas interessant és quan el nombre de parèntesis és infinit.

Sigui hem vist que amb .

Si col·loquem infinits parèntesis a la sèrie, deixant-la, per exemple

Aleshores, tenim una sèrie diferent amb I, per definició amb . Notem aleshores que, en el nostre cas concret,

Per tant és una successió parcial de la successió (com es pot veure comparant les successions). Com que, si una successió és convergent (divergent), totes les seves successions parcials són convergents (divergents) i convergeixen al mateix valor que la successió original. Per tant, si és convergent, aleshores demostrant la propietat associativa per aquest tipus de sèrie.

Si és divergent, aleshores demostrant la propietat associativa per aquest tipus de sèrie.

Si una sèrie és oscil·latòria, aleshores no podem afirmar que ja que tota successió (convergent o no) pot tenir successions parcials convergents. Aquest és el cas de la sèrie com hem vist més amunt. El fet que no totes les sèries tinguin propietat associativa i que una sèrie oscil·latòria pugui esdevenir convergent en aplicar la propietat associativa té com a conseqüència que en les sèries no es pot aplicar la propietat dissociativa.

Linealitat de les sèries[modifica | modifica el codi]

Si tenim dues sèries convergents i aleshores es compleix que

4

En efecte és conseqüència de la linealitat de la suma i la linealitat del límit, ja que:

Sèries numèriques de nombres reals[modifica | modifica el codi]

Es diu que una sèrie és una sèrie numèrica quan el elements de la successió són números. En concret, quan són números reals parlem de sèries numèriques de nombres reals. Aquestes sèries tenen certes propietats que altres sèries no tenen. Vegem alguns exemples

Criteri general de convergència d'una sèrie (numèrica de nombres reals)[modifica | modifica el codi]

Hem vist que, per definició, una sèrie és convergent si i només si el límit essent les sumes parcials, convergeix a un nombre real. Però una successió de nombres reals és convergent si i només si és de Cauchy. Per tant, podem afirmar que

és convergent és de Cauchy.

Però una successió de Cauchy compleix (per definició) que.

Suposem ara que , aleshores

Si definim , aleshores

Per tant, . Com que aquest expressió s'ha de complir , el valor de pot ser qualsevol nombre natural i l'expressió que acabem de trobar s'ha de complir . El criteri general de convergència d'una sèrie és precisament:

és convergent

Com a conseqüència, podem afirmar que: és convergent . El recíproc però, no és cert, la sèrie harmònica n'és un exemple.


Convergència absoluta i condicional[modifica | modifica el codi]

Article principal: Convergència absoluta

Es diu que la sèrie és absolutament convergent si la sèrie és convergent. Una cosa interessant d'aquest tipus de sèries és que

és absolutament convergent és convergent.

El recíproc no és cert (la sèrie harmònica alterna és convergent, però no ho és absolutament ja que la sèrie harmònica és divergent).

Precisament les sèries que compleixen aquesta condició (ser convergents, però no absolutament convergents) se les anomenen sèries condicionalment convergents.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Veiem alguns exemples de sèries numèriques de nombres reals

Notar que la sèrie presentada a l'apartat "introducció intuïtiva" és precisament la sèrie geomètrica pel cas en què .

Aquesta sèrie és divergent.

La sèrie harmònica és el cas concret d'aquesta sèrie en la què .

Aquesta sèrie és convergent.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Hardy, Godfrey Harold. «Introduction». A: Divergent Series (en anglès). Oxford at the Claredon Press, 1949, pàg. B. 
  2. Rogawski, Jon. Cálculo V.1. Una variable. 2a edició (en espanyol). Barcelona: Reverté, 2012, p. 812. ISBN 9788429151664. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Conceptes relacionats[modifica | modifica el codi]

Algunes sèries notables[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Sèrie (matemàtiques) Modifica l'enllaç a Wikidata