Sèrie de Dirichlet

De Viquipèdia

Una sèrie de Dirichlet (en honor al matemàtic alemany Gustav Dirichlet) és qualsevol sèrie infinita de la forma

La sèrie de Dirichlet més famosa és la funció zeta de Riemann:

També és una sèrie de Dirichlet, per exemple,:

on μ(n) és la funció de Möbius, així com altres funcions relacionades amb la funció zeta.

Propietats[modifica]

Les sèries de Dirichlet es poden sumar o multiplicar de la següent manera, i aquestes definicions purament algebraiques són consistents amb els valors assolits a la regió de convergència:

  • Suma:
  • Multiplicació:

La multiplicació puntual descrita també s'anomena convolució de Dirichlet.

Sèrie formal de Dirichlet[modifica]

Considerem un anell R, essent un cas especial l'anell dels nombres enters. Una sèrie formal de Dirichlet sobre R correspon a la suma formal:

amb coeficients . La suma i multiplicació en aquest cas són definits purament formalment, sense qüestions de convergència, per les fórmules anteriors d'addició puntual i la convolució de Dirichlet. Les sèries formals de Dirichlet formen un anell algebraic.

Vegeu també[modifica]

Bibliografia[modifica]