Sèrie harmònica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Hudební sèrie harmònica

En matemàtiques, la sèrie harmònica és la sèrie infinita:

S'anomena harmònica perquè les longituds d'ona dels harmònics d'una corda vibrant són proporcionals a 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . És una sèrie divergent (tot i que divergeix molt lentament). La primera demostració de la seva divergència fou presentada per Nicole d'Oresme al segle XIV, i es basa en notar que el 3r i 4t termes, 1/3 + 1/4, sumen més que 1/2, que el 5è, 6è, 7è i 8è termes, 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8, també sumen més que 1/2, etc.; és a dir, que prenent 2, 4, 8, 16, ... termes sempre es poden formar grups de valor superior a 1/2; per tant, la sèrie divergeix. Una altra demostració, molt relacionada amb la d'Oresme, és notar que la sèrie harmònica és superior, terme a terme, a la sèrie

La sèrie harmònica alterna definida com:

és convergent a ln 2, de fet conseqüència de la sèrie de Taylor del logaritme natural.

La sèrie harmònica generalitzada (o sèrie p) és qualsevol sèrie de la forma:

essent p un nombre real positiu. La sèrie és convergent si p > 1 i divergent en els altres casos. Quan p = 1 la sèrie és precisament la sèrie harmònica. Quan p > 1 la suma de la sèrie és ζ(p), és a dir, la funció zeta de Riemann avaluada a p.


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Sèrie harmònica Modifica l'enllaç a Wikidata