Sèrie alternada

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una sèrie que alterna és una sèrie infinita de la forma

amb an ≥ 0 (o an ≤ 0) per a tot n. Una suma finita d'aquesta classe és un suma alternada. Una sèrie alternada convergeix si el terme an convergeix a 0 monòtonament. L'error E introduït per aproximar una sèrie alternada amb la seva suma parcial de n termes ve donat per |E|<|an+1|.

Un condició suficient perquè la sèrie convergeixi és que convergeixi absolutament. Però això és sovint una condició massa dura de fet: no és una condició necessària. Per exemple, la sèrie harmònica

divergeix, mentre la versió que alternada

convergeix al logaritme natural de 2. Un test més ampli per a la convergència d'una sèrie alternada és el test de Leibniz: si la successió és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors la sèrie

convergeix.

La suma parcial

es pot fer servir per aproximar la suma d'una sèrie alternada convergent.

Si és monòtona decreixent i tendeix a zero, llavors l'error

en aquesta aproximació és menor que . Aquesta última observació és la base del test de Leibniz. En efecte, si la successió tendeix a zero i és monòtona decreixent (com a mínim des d'un cert punt), es pot fàcilment demostrar que la successió de sumes parcials és una Successió de Cauchy. Assumint

(la successió que és monòtona decreixent garanteix que ; fixeu-vos que formalment es necessita tenir en compte si és parell o senar, però això no canvia la idea de la demostració)

Com que quan , la successió de sumes parcials és Cauchy, i per tant la sèrie és convergent. Com que l'estimació anterior no depèn de , també demostra que

Les sèries alternades convergents que no convergeixen absolutament són exemples de sèries condicionalment convergents. En particular, el teorema de sèries de Riemann s'aplica a les seves reordenacions.