Sèrie de Bell

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una sèrie de Bell és una sèrie de potències formal utilitzada per estudiar les propietats de funcions aritmètiques. Les sèries de Bell van ser introduïdes i desenvolupades per Eric Temple Bell.

Donada una funció aritmètica i un nombre primer , es defineix la sèrie de potències formal , anomenada sèrie de Bell de mòdul , com a:

Es pot demostrar que dues funcions multiplicatives són idèntiques si totes les seves sèries de Bell són iguals: això de vegades s'anomena teorema d'unicitat. Donades les funcions multiplicatives i , es té que si i només si:

per a tots els nombres primers .

Dues sèries poden ser multiplicades (de vegades anomenat com teorema de multiplicació): per a dos funcions aritmètiques qualssevol i , sigui la seva convolució de Dirichlet. Llavors, per a cada nombre primer , es té que:

Més concretament, això converteix en trivial el fet de trobar la sèrie de Bell d'una inversa de Dirichlet.

Si és completament multiplicativa, llavors:

Exemples[modifica | modifica el codi]

A continuació es mostren les sèries de Bell de funcions aritmètiques molt conegudes.

  • La funció de Moebius
  • La funció φ d'Euler
  • La identitat multiplicadora de la convolució de Dirichlet tiene
  • La funció de Liouville
  • La funció potència Idk Aquí, Idk és la funció completament multiplicativa .
  • La funció divisor

Bibliografia[modifica | modifica el codi]