Distribució de Pareto generalitzada

Distribució de Pareto generalitzada

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua
Paràmetres	$\mu \in (-\infty ,\infty )\,$ ubicació (real) $\sigma \in (0,\infty )\,$ escala (real) $\xi \in (-\infty ,\infty )\,$ forma (real)
Suport	$x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)$ $\mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)$
fdp	${\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}$ on $z={\frac {x-\mu }{\sigma }}$
FD	$1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,$
Esperança matemàtica	$\mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)$
Mediana	$\mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}$
Moda	$\mu$
Variància	${\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)$
Coeficient de simetria	${\frac {2(1+\xi ){\sqrt {1-2\xi }}}{(1-3\xi )}}\,\;(\xi <1/3)$
Curtosi	${\frac {3(1-2\xi )(2\xi ^{2}+\xi +3)}{(1-3\xi )(1-4\xi )}}-3\,\;(\xi <1/4)$
Entropia	$\log(\sigma )+\xi +1$
FGM	$e^{\theta \mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(\theta \sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)$
FC	$e^{it\mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(it\sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)$

En estadística, la distribució de Pareto generalitzada (GPD) és una família de distribucions de probabilitat contínues. Sovint s'utilitza per modelar les cues d'una altra distribució. S'especifica per tres paràmetres: ubicació $\mu$, escala $\sigma$, i forma $\xi$. De vegades només s'especifica per l'escala i la forma i de vegades només pel seu paràmetre de forma. Algunes referències donen el paràmetre de forma com $\kappa =-\xi \,$.

Definició

La funció de distribució acumulada estàndard (cdf) de la GPD es defineix per

$F_{\xi }(z)={\begin{cases}1-\left(1+\xi z\right)^{-1/\xi }&{\text{per a }}\xi \neq 0,\\1-e^{-z}&{\text{per a }}\xi =0.\end{cases}}$

on hi ha el suport $z\geq 0$ per $\xi \geq 0$ i $0\leq z\leq -1/\xi$ per $\xi <0$ . La funció de densitat de probabilitat corresponent (fdp) és

$f_{\xi }(z)={\begin{cases}(1+\xi z)^{-{\frac {\xi +1}{\xi }}}&{\text{per a }}\xi \neq 0,\\e^{-z}&{\text{per a }}\xi =0.\end{cases}}$

Caracterització

La família de distribucions a escala de localització relacionada s'obté substituint l'argument z per ${\frac {x-\mu }{\sigma }}$ i ajustant el suport en conseqüència.

La funció de distribució acumulada de $X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )$ ($\mu \in \mathbb {R}$, $\sigma >0$, i $\xi \in \mathbb {R}$) és

$F_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{per a }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{per a }}\xi =0,\end{cases}}$

on el suport de $X$ és $x\geqslant \mu$ Quan $\xi \geqslant 0\,$, i $\mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi$ Quan $\xi <0$.

La funció de densitat de probabilitat (fdp) de $X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )$ és

$f_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}$

de nou, per $x\geqslant \mu$ Quan $\xi \geqslant 0$, i $\mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi$ Quan $\xi <0$.

La fdp és una solució de l'equació diferencial següent:

$\left\{{\begin{array}{l}f'(x)(-\mu \xi +\sigma +\xi x)+(\xi +1)f(x)=0,\\f(0)={\frac {\left(1-{\frac {\mu \xi }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}}{\sigma }}\end{array}}\right\}$