Paràmetre d'ubicació

A les estadístiques, un paràmetre d'ubicació d'una distribució de probabilitat és un paràmetre de valor escalar o vectorial $x_{0}$, que determina la "ubicació" o el desplaçament de la distribució. A la literatura d'estimació de paràmetres d'ubicació, es troba que les distribucions de probabilitat amb aquest paràmetre es defineixen formalment d'una de les maneres equivalents següents:

• ja sigui com a funció de densitat de probabilitat o funció de massa de probabilitat $f(x-x_{0})$; o
• amb una funció de distribució acumulada $F(x-x_{0})$; o
• es defineix com a resultat de la transformació de variables aleatòries $x_{0}+X$, on $X$ és una variable aleatòria amb una distribució determinada, possiblement desconeguda.

Un exemple directe d'un paràmetre d'ubicació és el paràmetre $\mu$ de la distribució normal. Per veure això, tingueu en compte que la funció de densitat de probabilitat $f(x|\mu ,\sigma )$ d'una distribució normal ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ pot tenir el paràmetre $\mu$ descomptat i s'escriu com:

$g(y-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {y}{\sigma }}\right)^{2}}$

complint així la primera de les definicions anteriors.

La definició anterior indica, en el cas unidimensional, que si $x_{0}$ augmenta, la densitat de probabilitat o funció de massa es desplaça rígidament cap a la dreta, mantenint la seva forma exacta.

També es pot trobar un paràmetre d'ubicació a les famílies que tenen més d'un paràmetre, com ara les famílies d'escala d'ubicació. En aquest cas, la funció de densitat de probabilitat o funció de massa de probabilitat serà un cas especial de la forma més general

$f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})$

on $x_{0}$ és el paràmetre d'ubicació, θ representa paràmetres addicionals i $f_{\theta }$ és una funció parametritzada en els paràmetres addicionals.

Definició

Deixar $f(x)$ sigui qualsevol funció de densitat de probabilitat i sigui $\mu$ i $\sigma >0$ ser qualsevol constant donada. Després la funció

$g(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma }}f\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$

és una funció de densitat de probabilitat.

Aleshores, la família d'ubicacions es defineix de la següent manera:

Sigui $f(x)$ qualsevol funció de densitat de probabilitat. Llavors la família de funcions de densitat de probabilitat ${\mathcal {F}}=\{f(x-\mu ):\mu \in \mathbb {R} \}$ s'anomena família d'ubicacions amb funció de densitat de probabilitat estàndard $f(x)$, on $\mu$ s'anomena el paràmetre d'ubicació de la família.