Distribució de Rice

Distribució de Rice

Funcions de densitat de probabilitat de Rice σ = 1.0
Funció de distribució de probabilitat Funcions de distribució acumulatives de Rice σ = 1.0
Paràmetres	ν ≥ 0 — distància entre el punt de referència i el centre de la distribució bivariable, σ ≥ 0
Suport	x ∈ [0, +∞)
fdp	${\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)$
FD	$1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)$ on Q1 és la funció Q de Marcum
Mitjana	$\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})$
Variància	$2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-{\frac {\pi \sigma ^{2}}{2}}L_{1/2}^{2}\left({\frac {-\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$

En el pla 2D, agafi's un punt fixe a una distància $\nu$ de l'origen. Generi's una distribució bidimensional de punts centrats al voltant d'aquest primer punt, en què els valors de les coordenades x i y són triats independentment a partir d'una distribució normal amb desviació estàndard $\sigma$ (la regió blava). Si $R$ és la distància d'aquests punts a l'origen, llavors $R$ segueix una distribució de Rice.

En teoria de la probabilitat, la distribució de Rice és la distribució de probabilitat de la magnitud d'una variable aleatòria normal bivariada i circular de mitjana potencialment diferent de zero. Du el nom de l'enginyer estatunidenc Stephen O. Rice.

Caracterització

La funció densitat de probabilitat de la distribució de Rice és:

$f(x\mid \nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right),$

on I₀(z) és la funció de Bessel modificada de primer tipus d'ordre zero.

En el context de l'esvaïment de Rice, la distribució es reescriu sovint per mitjà del paràmetre de forma $K={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}$, definit com el quocient entre les contribucions en potència del camí amb línia de visió directa respecte la potència per efecte multicamí, i del paràmetre d'escala $\Omega =\nu ^{2}+2\sigma ^{2}$, definit com la potència total rebuda de tots els camins.

La funció característica de la distribució de Rice ve donada per:

${\begin{aligned}&\chi _{X}(t\mid \nu ,\sigma )\\&\quad =\exp \left(-{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\left[\Psi _{2}\left(1;1,{\frac {1}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right.\\[8pt]&\left.{}\qquad +i{\sqrt {2}}\sigma t\Psi _{2}\left({\frac {3}{2}};1,{\frac {3}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right],\end{aligned}}$

on $\Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)$ és una de les funcions hipergeomètriques convergents de Horn amb dues variables i convergent per tot valor finit de $x$ i $y$. Ve donat per:

$\Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}},$

on

$(x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}$

és el factorial creixent.

Distribucions relacionades

• $R\sim \mathrm {Rice} \left(|\nu |,\sigma \right)$ té una distribució de Rice si $R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ on $X\sim N\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)$ i $Y\sim N\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)$ són variables aleatòries normals estadísticament independents i $\theta$ és un nombre real qualsevol.

• Un altre cas en què $R\sim \mathrm {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)$ prové dels següents passos

1 Generi's $P$ amb una distribució de Poisson amb paràmetre (també igual a la mitjana, en ser de Poisson)$\lambda ={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.$

2. Generi's $X$ amb distribució khi quadrat amb 2P + 2 graus de llibertat.

3. Estableixi's que $R=\sigma {\sqrt {X}}.$

• Si $R\sim {\text{Rice}}\left(\nu ,1\right)$ llavors $R^{2}$ té una distribució khi quadrat no centrada amb dos graus de llibertat amb paràmtre de no centralitat $\nu ^{2}$.

• Si $R\sim {\text{Rice}}\left(\nu ,1\right)$ llavors $R$ té una distribució khi no centrada amb dos graus de llibertat i paràmtre de no centralitat $\nu$.

• Si $R\sim {\text{Rice}}\left(0,\sigma \right)$ llavors $R\sim {\text{Rayleigh}}\left(\sigma \right)$, per exemple, per un cas particular de la distribució de Rice donat per la condició ν = 0, la distribució esdevé una distribució de Rayleigh, per la qual la variància és $\mu _{2}={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}$.

• Si $R\sim {\text{Rice}}\left(0,\sigma \right)$ llavors $R^{2}$ té una distribució exponencial.

Casos limitants

Per valors grans de l'argument, el polinomi de Laguerre esdevé

$\lim _{x\rightarrow -\infty }L_{\nu }(x)={\frac {|x|^{\nu }}{\Gamma (1+\nu )}}.$

Es demostra que a mesura que ν creix o σ es fa petit la mitjana tendeix a ν i la variància a σ².

Aplicacions

• La norma euclidiana d'un vector aleatori de la distribució normal bivariable.
• Esvaïment de Rice
• Efecte de l'error de visió en el disparament d'un blanc.

Bibliografia

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (ed.), Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, 1964; reprinted Dover Publications, 1965. ISBN 0-486-61272-4
• Rice, S. O., Mathematical Analysis of Random Noise. Bell System Technical Journal 24 (1945) 46–156.
• «A smoothness index-guided approach to wavelet parameter selection in signal de-noising and fault detection». Journal of Sound and Vibration, 308, 1–2, 20-11-2007, pàg. 253–254. DOI: 10.1016/j.jsv.2007.07.038.
• Dong Wang, Qiang Zhou, Kwok-Leung Tsui. On the distribution of the modulus of Gabor wavelet coefficients and the upper bound of the dimensionless smoothness index in the case of additive Gaussian noises: Revisited. Journal of Sound and Vibration. 2017 May 12;395:393-400.
• Liu, X. and Hanzo, L., A Unified Exact BER Performance Analysis of Asynchronous DS-CDMA Systems Using BPSK Modulation over Fading Channels, IEEE Transactions on Wireless Communications, Volume 6, Issue 10, October 2007, Pages 3504–3509.
• Annamalai, A., Tellambura, C. and Bhargava, V. K., Equal-Gain Diversity Receiver Performance in Wireless Channels, IEEE Transactions on Communications,Volume 48, October 2000, Pages 1732–1745.
• Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F. and Tricomi, F. G., Higher Transcendental Functions, Volume 1. McGraw-Hill Book Company Inc., 1953.
• Srivastava, H. M. and Karlsson, P. W., Multiple Gaussian Hypergeometric Series. Ellis Horwood Ltd., 1985.
• Sijbers J., den Dekker A. J., Scheunders P. and Van Dyck D., "Maximum Likelihood estimation of Rician distribution parameters", IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 17, Nr. 3, p. 357–361, (1998)
• «Data distributions in magnetic resonance images: a review». Physica Medica, 30, 7, desembre 2014, pàg. 725–741. DOI: 10.1016/j.ejmp.2014.05.002.
• Koay, C.G. and Basser, P. J., Analytically exact correction scheme for signal extraction from noisy magnitude MR signals, Journal of Magnetic Resonance, Volume 179, Issue = 2, p. 317–322, (2006)
• Abdi, A., Tepedelenlioglu, C., Kaveh, M., and Giannakis, G. On the estimation of the K parameter for the Rice fading distribution, IEEE Communications Letters, Volume 5, Number 3, March 2001, Pages 92–94.
• «Estimation of the parameters of the Rice distribution». Journal of the Acoustical Society of America, 89, 3, març 1991, pàg. 1193–1197. DOI: 10.1121/1.400532.
• «Optimal Measurement of Magnitude and Phase from MR Data». Journal of Magnetic Resonance, Series B, 113, 2, novembre 1996, pàg. 136–144. DOI: 10.1006/jmrb.1996.0166.

Enllaços externs

• Codi en MATLAB de la distribució de Rice (PDF, mitjana i variància, i generació de mostres aleatòries)