Distribució de Weibull

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

A la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució de Weibull[1] (batejada en honor de Waloddi Weibull) és una distribució de probabilitat contínua.

La distribució de Weibull s'utilitza habitualment per a l'anàlisi de dades de supervivència, degut a la seva flexibilitat i tractabilitat matemàtica. Pot imitar el comportament d'altres distribucions com la distribució normal quan k=3.4 i reproduir exactament la distribució exponencial quan k=1. Si la funció de risc decreix al llarg del temps, aleshores k < 1. Si és constant, k = 1. Si creix al llarg del temps, k > 1.

La funció de risc ajuda a comprendre què està causant les morts/fallides:

  • Un risc decreixent suggereix "mortalitat infantil". És a dir, els ítems defectuosos fallen al principi i per tant a mesura que avança el temps només queden els ítems no defectuosos, i el risc de fallida disminueix.
  • Un risc constant suggereix que no hi ha ítems defectuosos, i que els ítems no es desgasten amb el temps.
  • Un risc creixent indica que els ítems es desgasten, i per tant a mesura que avança el temps augmenta el risc d'una fallida.

Caracterització[modifica | modifica el codi]

Funció de probabilitat de densitat[modifica | modifica el codi]

La seva funció de densitat de probabilitat és

per a i f(x; k, λ) = 0 per a x < 0, on és el paràmetre de forma i és el paràmetre d'escala.

Funció de distribució[modifica | modifica el codi]

La funció de distribució pot calcular-se de forma explícita, fet que fa la distribució de Weibull atractiva per a modelar certs tipus de dades, com per exemple en l'anàlisi de la supervivència.

Funció de risc[modifica | modifica el codi]

Propietats[modifica | modifica el codi]

Mitjana:

Mediana:

Moda: if

Variància:

Asimetria:

Moment d'ordre n: , on és la funció Gamma.

Generalització[modifica | modifica el codi]

Existeix una genelització de la distribució de Weibull, que empra tres paràmetres. La funció de probabilitat de densitat és

per a i f(x; k, λ, θ) = 0 per x < θ, on és el paràmetre de forma, és el paràmetre d'escala i és el paràmetre de localització. Quan θ=0, aquesta expressió es redueix a la distribució Gamma de dos paràmetres.

La funció de distribució és

per a x ≥ θ, i F(x; k, λ, θ) = 0 per a x < θ.

Generació de valors aleatoris[modifica | modifica el codi]

Donada una observació aleatòria U obtinguda de la distribució uniforme en l'interval (0, 1), aleshores

segueix una distribució de Weibull amb paràmetres k i λ. Aquest resultat és una conseqüència immediata d'aplicar la transformació de distribució inversa.

Distribucions relacionades[modifica | modifica el codi]

  • és una distribució exponencial si .
  • és una distribució de Rayleigh si .
  • segueix una distribució de Weibull si .
  • Si X segueix una distribució de Weibull, 1/X segueix una distribució de Weibull inversa amb funció de densitat de probabilitat
  • Vegeu també la distribució generalitzada del valor extrem.

Referències[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució de Weibull Modifica l'enllaç a Wikidata
  1. Weibull, W. (1951) "A statistical distribution function of wide applicability" J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18(3), 293-297