Distribució de Weibull

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Distribució de Weibull
Gràfica de la funció de distribució de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Gràfica de la funció de distribució acumulada
Paràmetres escala
forma
Suport
fdp
FD
Mitjana
Mediana
Moda =
Variància
Coeficient de simetria
Curtosi (veure text)
Entropia
FGM
FC
Modifica les dades a Wikidata

En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució de Weibull[1] (batejada en honor de Waloddi Weibull) és una distribució de probabilitat contínua.

La distribució de Weibull s'utilitza habitualment per a l'anàlisi de dades de supervivència, degut a la seva flexibilitat i tractabilitat matemàtica. Pot imitar el comportament d'altres distribucions com la distribució normal quan k=3.4 i reproduir exactament la distribució exponencial quan k=1. Si la funció de risc decreix al llarg del temps, aleshores k < 1. Si és constant, k = 1. Si creix al llarg del temps, k > 1.

La funció de risc ajuda a comprendre què està causant les morts/fallides:

  • Un risc decreixent suggereix "mortalitat infantil". És a dir, els ítems defectuosos fallen al principi i per tant a mesura que avança el temps només queden els ítems no defectuosos, i el risc de fallida disminueix.
  • Un risc constant suggereix que no hi ha ítems defectuosos, i que els ítems no es desgasten amb el temps.
  • Un risc creixent indica que els ítems es desgasten, i per tant a mesura que avança el temps augmenta el risc d'una fallida.

Caracterització[modifica]

Funció de probabilitat de densitat[modifica]

La seva funció de densitat de probabilitat és

per a i f(x; k, λ) = 0 per a x < 0, on és el paràmetre de forma i és el paràmetre d'escala.

Funció de distribució[modifica]

La funció de distribució pot calcular-se de forma explícita, fet que fa la distribució de Weibull atractiva per a modelar certs tipus de dades, com per exemple en l'anàlisi de la supervivència.

Funció de risc[modifica]

Propietats[modifica]

Mitjana:

Mediana:

Moda: if

Variància:

Asimetria:

Moment d'ordre n: , on és la funció Gamma.

Generalització[modifica]

Existeix una genelització de la distribució de Weibull, que empra tres paràmetres. La funció de densitat de probabilitat és:

per a i f(x; k, λ, θ) = 0 per x < θ, on és el paràmetre de forma, és el paràmetre d'escala i és el paràmetre de localització. Quan θ=0, aquesta expressió es redueix a la distribució Gamma de dos paràmetres.

La funció de distribució és

per a x ≥ θ, i F(x; k, λ, θ) = 0 per a x < θ.

Generació de valors aleatoris[modifica]

Donada una observació aleatòria U obtinguda de la distribució uniforme en l'interval (0, 1), aleshores

segueix una distribució de Weibull amb paràmetres k i λ. Aquest resultat és una conseqüència immediata d'aplicar la transformació de distribució inversa.

Distribucions relacionades[modifica]

  • és una distribució exponencial si .
  • és una distribució de Rayleigh si .
  • segueix una distribució de Weibull si .
  • Si X segueix una distribució de Weibull, 1/X segueix una distribució de Weibull inversa amb funció de densitat de probabilitat
  • Vegeu també la distribució generalitzada del valor extrem.

Referències[modifica]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució de Weibull Modifica l'enllaç a Wikidata
  1. Weibull, W. (1951) "A statistical distribution function of wide applicability" J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18(3), 293-297