Funció gamma

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
La funció gamma al llarg de l'eix real

En matemàtiques, la funció gamma (denotada com  \scriptstyle \Gamma(z)\,\! ,[Nota 1] representada per la lletra majúscula grega Γ) és una extensió de la funció factorial, amb el seu argument menys 1, als nombres reals i complexos.

És a dir, si n és un enter positiu:

\Gamma(n) = (n-1)!.

La funció gamma està definida per a tots els nombres complexos, excepte els nombres enters no positius. Per als nombres complexos amb una part real positiva, es defineix per una integral impròpia convergent:

 \Gamma(t) = \int_0^\infty  x^{t-1} e^{-x}\,dx.

Aquesta funció integral s'estén per continuació analítica a tots els nombres complexos, excepte els nombres enters no positius (on la funció té pols simples), obtenint la funció meromórfa que anomenem funció gamma. De fet, la funció gamma es correspon amb la transformada de Mellin de la funció exponencial negativa:

 \Gamma(t) = \{ \mathcal M e^{-x} \} (t).

La funció gamma és un component en diverses funcions de probabilitat de distribució, i com a tal, és aplicable en els camps de la probabilitat i de l'estadística, així com la combinatòria.

Motivació[modifica | modifica el codi]

Gràfica senzilla per a interpolar la funció factorial per a valors no sencers, però és aquesta una fórmula que descriu la corba resultant?

La funció gamma pot ser vista com una solució per al següent problema d'interpolació:

«Troba una corba suau que uneixi els punts (x, y) donats per y = (x - 1)! en els valors enters positius per a x

Un gràfic dels primers factorials deixa clar que es pot fer una corba d'aquest tipus, però seria preferible tenir una fórmula que descrigui amb precisió la corba, en què el nombre d'operacions no depengui del valor de x. La fórmula simple per al factorial x! = 1 × 2 × … × x no es poden utilitzar directament per als valors fraccionaris de x, ja que només és vàlida quan x és un nombre natural (és a dir, un nombre enter positiu). En termes relatius, no hi ha aquest tipus de solucions simples per als factorials; cap combinació finita de sumes, productes, potències, funcions exponencials, o logaritmes serà suficient per expressar x!. L'aproximació de Stirling és asimptòticament igual a la funció factorial per a valors grans de x. És possible trobar una fórmula general per als factorials utilitzant eines com ara integrals i límits per al càlcul. Una bona solució a això és la funció gamma.

Hi ha una infinitat d'extensions contínues del factorial de valors no sencers: es poden extreure un nombre infinit de corbes a través de qualsevol conjunt de punts aïllats. La funció gamma és la solució més útil en la pràctica, sent analítica (excepte en els nombres enters no positius), i pot ser caracteritzada de diverses formes. No obstant això, no és l'única funció analítica que s'estén al factorial, com l'addició a la mateixa de qualsevol funció analítica que és zero en els nombres enters positius, com ara k sin nπ, donarà una altra funció amb aquesta propietat.

Una propietat més restrictiva que satisfà la interpolació superior és satisfer la relació de recurrència definida a una versió traduïda de la funció factorial,

\begin{align}
f(1) & = 1 \ \text{, and} \\
f(x+1) &= x f(x),
\end{align}

per a x igual a qualsevol nombre real positiu.

El teorema de Bohr-Mollerup demostra que aquestes propietats, juntament amb el supòsit de que f sigui logarítmicament convexa (o «súper convexa»)[1], determina de forma única a f per als valors positius i reals. A partir d'aquí, la funció gamma es pot estendre a tots els valors reals i complexos (amb excepció dels nombres enters negatius i el zero) utilitzant l'única continuació analítica de f.

Definició[modifica | modifica el codi]

Definició principal[modifica | modifica el codi]

La notació Γ(t) es deu al matemàtic Legendre. Si la part real del nombre complex t és positiu (Re(t) > 0), llavors la integral

 \Gamma(t) = \int_0^\infty  x^{t-1} e^{-x}\, dx.

convergeix absolutament, i es coneix com la integral d'Euler segona espècie (la integral d'Euler de la primera espècie defineix la funció beta). L'ús de la integració per parts, es veu que Γ(t) satisfà l'equació funcional:

\Gamma(t+1)=t \Gamma(t).

Combinant això amb Γ(1) = 1, s'obté:

\Gamma(n) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) = (n-1)!\,

o

\Gamma(n+1)=n!.

per a \forall\,n \in\N, \;.

La identitat Γ(t) = Γ(t + 1)/t es pot utilitzar (o, i s'obté el mateix resultat, es pot utilitzar la continuació analítica) per a estendre de forma única la formulació integral per a Γ(t) a una funció meromorfa definida per a tots els nombres complexos t, excepte t = −n per a enters n ≥ 0, on la funció té pols simples amb residu (−1)n/n!.

Aquesta és la versió estesa que es coneix comunament com la funció gamma.

Altres definicions[modifica | modifica el codi]

Les següents definicions de productes infinits per a la funció gamma d' Euler i Weierstrass, respectivament, són vàlides per a tots els nombres complexos t, excepte els nombres enters no positius:

\begin{align}
\Gamma(t) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^t}{t \; (t+1)\cdots(t+n)}
=  \frac{1}{t} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^t}{1+\frac{t}{n}} \\
\Gamma(t) &= \frac{e^{-\gamma t}}{t} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{t}{n}\right)^{-1} e^{\frac{t}{n}}
\end{align}

on γ0,577216 és la constant d'Euler-Mascheroni. És fàcil demostrar que la definició d'Euler satisfà l'equació funcional (1) anterior.

Una curiosa parametrització de la funció gamma es dóna en termes de polinomis de Laguerre generalitzats,

\Gamma(t)=x^t \sum_{n=0}^{\infty} \frac{L_n^{(t)}(x)}{t+n},

que convergeix per Re(t) < 1/2.

La funció gamma en el pla complex[modifica | modifica el codi]

Representació de la funció gamma en el pla complex. Cada punt z es del color d'acord l'argument de Γ(z). També es visualitza el gràfic de contorn del mòdul |Γ(z)|
Valor absolut de la funció gamma en el pla complex

El comportament de Γ(t) per a una variable positiva creixent és simple: creix ràpidament, més ràpid que una funció exponencial. Asimptòticament és com t → ∞, la magnitud de la funció gamma està donada per la fórmula de Stirling

\Gamma(t+1)\sim\sqrt{2\pi t}\left(\frac{t}{e}\right)^{t},

on el símbol ~ vol dir que el quocient de banda i banda convergeix a 1.

El comportament de la t no positiva és més intricada. L'integral d'Euler no convergeix per a t ≤ 0t, però la funció que es defineix en el semiplà positiu complex té una continuació analítica única cap al semiplà negatiu. Una manera de trobar aquesta continuació analítica és l'ús de la integral d'Euler per a arguments positius i estendre el domini als nombres negatius amb l'aplicació reiterada de la fórmula de recurrència,

\Gamma(t)=\frac{\Gamma(t+n)}{t(t+1)\cdots(t+n-1)},

elegint a n de tal manera que t + n sigui positiu. El producte en el denominador és zero quan t és igual a qualsevol dels nombres enters 0, -1, -2, .... Així, la funció gamma ha de ser indefinida en aquests punts per a la divisió per zero; és una funció meromorfa amb pols simples en els nombres enters no positius. Els residus de la funció en aquests punts són:

\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.

La funció gamma és sempre diferent de zero al llarg de l'eix real, tot i que es tracta arbitràriament prop de zero quan t → −∞. Hi ha, de fet, no hi ha cap nombre complex t per als que Γ(t) = 0, i per tant la funció gamma inversa 1/Γ(t) és una funció sencera, amb zeros en t = 0, −1, −2,…

La funció gamma té un mínim local en xmin1,46163, on aconsegueix el valor de Γ(xmin) ≈ 0,885603.

La funció gamma ha d'alternar el signe entre els pols perquè el producte en la recurrència cap endavant conté un nombre imparell de factors negatius si el nombre de pols entre t i t + n és imparell, i un nombre parell si el nombre de pols és parell.

Propietats[modifica | modifica el codi]

General[modifica | modifica el codi]

Altres equacions funcionals importants per a la funció gamma són la fórmula de reflexió d'Euler

\Gamma(1-z) \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}}, \qquad z \not\in \mathbf Z

que implica

\Gamma(\varepsilon - n) = (-1)^{n-1} \; \frac{\Gamma(-\varepsilon) \Gamma(1+\varepsilon)}{\Gamma(n+1-\varepsilon)},

i la fórmula de duplicació

\Gamma(z) \Gamma\left(z + \tfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).

La fórmula de duplicació és un cas especial del teorema de multiplicació

\prod_{k=0}^{m-1}\Gamma\left(z + \frac{k}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{\frac{1}{2} - mz} \; \Gamma(mz).

Una propietat simple però útil, que es pot veure a partir de la definició de límit, és:

\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}) \; \Rightarrow \; \Gamma(z)\Gamma(\overline{z}) \in \mathbf{R} .

Potser el valor més conegut de la funció gamma d'un argument no sencer és

\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},

que es pot trobar mitjançant l'establiment de z = 1/2 en les fórmules de reflexió o duplicació, mitjançant l'ús de la relació amb la funció beta donada a continuació amb x = y = 1/2, o simplement fent la substitució {u}=\sqrt{x}, en la definició d'integral de la funció gama, resultant en una integral de Gauss. En general, per a valors enters no negatius de n tenim:

\begin{align}
\Gamma\left(\tfrac{1}{2}+n\right) &= {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right] \\
\Gamma\left(\tfrac{1}{2}-n\right) &= {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!} \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{{-\frac{1}{2} \choose n} n!}
\end{align}

on n!! denota el doble factorial, quan n = 0, n!! = 1 (Vegeu Valors particulars de la funció gamma per als valors calculats).

Podria ser temptador generalitzar el resultat \Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}, mitjançant la recerca d'una fórmula per a altres valors individuals de Γ(r), on r és racional. No obstant això, aquests números no són coneguts per ser expressable per si mateixos en termes de funcions elementals. S'ha demostrat que Γ(n + r) és un nombre transcendent i algebraicament independent de π per a qualsevol nombre enter n i cadascuna de les fraccions de r = 1/6, 1/4, 1/3, 2/3, 3/4, 5/6.[2] En general, quan es calculen els valors de la funció gamma, cal conformar-se amb aproximacions numèriques

Un altre límit útil per a aproximacions asimptòtiques és:

\lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)n^{\alpha}} = 1, \qquad \alpha\in\mathbf{R}

Les derivades de la funció gamma es descriuen en termes de la funció poligamma. Per exemple:

\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z).

Per a un enter positiu m la derivada de la funció gamma es pot calcular com segueix (aquí γ és la constant d'Euler-Mascheroni):

\Gamma'(m+1) = m! \left(  - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)\,.

Per a Re(x) > 0 la n-derivada de la funció gamma és:

Derivada de la funció Γ(z)
\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}\,\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} (\ln t)^{n} dt.[Nota 2]

La funció gamma té pols simples en z = −n = 0, −1, −2, −3,… El residu es

\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.

Els pols i els residus es poden obtenir de la fórmula

\Gamma(z)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{z+n} + \int_1^\infty t^{z-1} e^{-t} dt.[Nota 3]

A més, la funció gamma té el següent desenvolupament de Laurent en

\Gamma(z) = 1+\sum_{n=1}^\infty\frac{\Gamma^{(n)}(1)}{n!}(z-1)^{n},

vàlid per a |z − 1| < 1.

Usant la identitat

\Gamma^{(n)}(1)=(-1)^n n!\sum\limits_{\pi\,\vdash \, n}\,\prod_{i=1}^r\frac{\zeta^*(a_i)}{k_i!\cdot a_i} \qquad \zeta^*(x):=\begin{cases}\zeta(x)&x\ne1\\ \gamma&x=1\end{cases}

amb particions

\pi=(\underbrace{a_1,\dots,a_1}_{k_1},\dots,\underbrace{a_r,\dots,a_r}_{k_r}),

tenim, en particular,

\Gamma(z) = \frac1z - \gamma + \tfrac12\left(\gamma^2 + \frac {\pi^2}6\right)z - \tfrac16\left(\gamma^3 + \frac {\gamma\pi^2}2 + 2 \zeta(3)\right)z^2 + O(z^3).

Desenvolupament en sèries de Fourier[modifica | modifica el codi]

El logaritme de la funció gamma té el següent desenvolupament en sèries de Fourier


\ln\Gamma(x) = \left(\tfrac{1}{2} - x\right)(\gamma + \ln2) + (1 - x)\ln\pi
- \tfrac{1}{2}\ln\sin\pi x  + \tfrac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin 2\pi n x \cdot\ln{n}}{n}\,, \qquad 0<x<1,

que ha estat durant molt de temps atribuït a Ernst Kummer, obtinguda en 1847.[3][4] No obstant això, va ser fa relativament poc que Iaroslav Blagouchine va descobrir que aquesta sèrie va ser obtinguda per primera vegada per Carl Johan Malmsten en 1842.[5]

La fórmula de Raabe[modifica | modifica el codi]

En 1840, Raabe va provar que

\int_a^{a+1}\ln\Gamma(t)\, dt = \tfrac12\ln2\pi + a\ln a - a,\quad a>0.

En particular, si a = 0 llavors

\int_0^1\ln\Gamma(t)\, dt = \tfrac12\ln2\pi.

S'utilitza aquesta fórmula, quan es vol obtenir la versió convergent de la fórmula de Stirling. Usant la regla trapezoïdal completa es pot demostrar que

\ln \Gamma(1+x)=x \ln x -x +\tfrac{1}{2} \ln 2\pi x +\int_{0}^\infty \frac{2\mathrm{arctan}(\frac{t}{x})}{e^{2 \pi t} -1} dt

La funció Pi[modifica | modifica el codi]

Una notació alternativa que va ser introduïda originalment per Gauss i que va ser utilitzada de vegades és la funció pi, que en termes de la funció gamma és

\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \Gamma(z)  = \int_0^\infty  e^{-t} t^z\, dt,

i que Π(n) = n! per a cada enter no negatiu n.

Utilitzant la fórmula de reflexió de la funció pi, pren la forma

\Pi(z)  \Pi(-z) = \frac{\pi z}{\sin( \pi z)} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(z)}

on sinc és la funció sinc normalitzada, mentre que el teorema de multiplicació pren la forma

\Pi\left(\frac{z}{m}\right) \, \Pi\left(\frac{z-1}{m}\right) \cdots \Pi\left(\frac{z-m+1}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} m^{-z-\frac{1}{2}} \Pi(z).

De vegades també trobem

\pi(z) = \frac{1}{\Pi(z)},

que és una funció entera, definida per a tot nombre complex, igual que la funció gamma inversa. Que π(z) sigui entera implica que no té pols, pel que Π(z) no té zeros.

El volum d'un n-el·lipsoide amb radis r1, …, rn, pot expressar-se com

V_n(r_1,\dotsc,r_n)=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Pi\left(\frac{n}{2}\right)}\prod_{k=1}^{n}r_k.

Relació amb altres funcions[modifica | modifica el codi]

  • En la primera integral superior, que defineix la funció gamma, els límits d'integració són fixos. La función gamma incompleta superior \Gamma(a,x) i inferior \gamma(a,x) s'obtenen modificant els límits d'integració superiors o inferiors respectivament.
 \Gamma(a,x) = \int_x^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .\,\!
 \gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .\,\!
  • La funció gamma està relacionada amb la funció beta per la fórmula
\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x) \; \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.
\psi(x) =\psi^0(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}
\psi^{(n)}(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^n \psi(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^{n+1} \log\Gamma(x)
f(z) = \frac{1}{\Gamma(z)},
\zeta(z) \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{u^{z}}{e^u - 1} \; \frac{du}{u},
que és vàlida només per a Re(z) > 1. També apareix en la seva ecuació funcional
\pi^{-\frac{z}{2}} \; \Gamma\left(\frac{z}{2}\right) \zeta(z) = \pi^{-\frac{1-z}{2}} \; \Gamma\left(\frac{1-z}{2}\right) \; \zeta(1-z).
  • El logaritme de la funció gamma satisfà la següent fórmula de Lerch:
\log\Gamma(x) = \zeta_{H}'(0,x) - \zeta'(0),
on ζH és la funció zeta d'Hurwitz, ζ és la funció zeta de Riemann i la prima (') denota la diferenciació en la primera variable.
\langle\tau^n\rangle \equiv \int_0^\infty dt\; t^{n-1}\, e^{ - \left( \frac{t}{\tau} \right)^\beta} = \frac{\tau^n}{\beta}\Gamma \left({n \over \beta }\right).

Valors particulars[modifica | modifica el codi]

Alguns valors particulars de la funció gamma són:

\begin{alignat}{3}
\Gamma(-1) & = (-2)! && = \infty \\
\Gamma(0) & = (-1)! && = \infty \\
\Gamma(1) & = 0! && = 1 \\
\Gamma(2) & = 1! &&= 1 \\
\Gamma(3) & = 2! &&= 2 \\
\Gamma(4) & = 3! &&= 6 \\
\Gamma(-\tfrac{3}{2}) & = \tfrac{4}{3} \sqrt{\pi} &&\approx 2.363\,271\,801\,207 \\
\Gamma(-\tfrac{1}{2}) & = -2\sqrt{\pi} &&\approx -3.544\,907\,701\,811 \\
\Gamma(\tfrac{1}{2}) & = \sqrt{\pi} &&\approx 1.772\,453\,850\,905 \\
\Gamma(\tfrac{3}{2}) & = \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} &&\approx 0.886\,226\,925\,45 \\
\Gamma(\tfrac{5}{2}) & = \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi} &&\approx 1.329\,340\,388\,18 \\
\Gamma(\tfrac{7}{2}) & = \tfrac{15}{8}\sqrt{\pi} &&\approx  3.323\,350\,970\,45
\end{alignat}

La funció log-gamma[modifica | modifica el codi]

Com que la funció gamma i les funcions factorials creixen tan ràpidament per a grans arguments, molts entorns informàtics inclouen una funció que calcula el logaritme natural de la funció gamma (que sol donar-se amb el nom lgamma o lngamma en entorns de programació o gammaln en fulls de càlcul); aquesta funció creix molt més lentament, i per als càlculs combinatoris permet sumar i restar els seus logaritmes en lloc de multiplicar i dividir valors molt grans.

La funció digamma, que és la derivada d'aquesta funció, també és normalment vista. En el context d'aplicacions tècniques i físiques, per exemple, amb la propagació de les ones, l'equació funcional

 \ln (\Gamma(z)) = \ln (\Gamma(z+1)) - \ln(z)

s'utilitza sovint, ja que permet determinar valors de la funció en una franja d'amplada d'1 fins a z de la franja veïna. En particular, començant amb una bona aproximació per a una z amb gran part real, un pot anar pas a pas fins a la z desitjada.

Seguint una indicació de Carl Friedrich Gauss, Rocktaschel (1922) proposa per a ln(Γ(z)) una aproximació per a una Re(z) gran:

 \ln (\Gamma(z)) \approx (z - \tfrac{1}{2}) \ln(z) - z + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi).

Això es pot utilitzar per a aproximar amb precisió ln(Γ(z)) per a z amb una Re(z) més petita a través de (P.E.Böhmer, 1939)

 \ln(\Gamma(z-m)) = \ln(\Gamma(z)) - \sum_{k=1}^{m} \ln(z-k).

Una aproximació més precisa es pot obtenir mitjançant l'ús de més termes dels desenvolupaments asimptòtics de ln(Γ(z)) i Γ(z), que es basen en l'aproximació de Stirling.

\Gamma(z)\sim z^{z - \frac{1}{2}} e^{-z} \sqrt{2\pi} \left( 1 + \frac{1}{12z} + \frac{1}{288z^2} - \frac{139}{51\,840 z^3} - \frac{571}{2\,488\,320 z^4}
        \right)
en |z| → ∞ amb constant |arg(z)| < π.

En una presentació més «natural»:

\ln \Gamma(z) \sim z \ln (z) - z - \tfrac{1}{2} \ln \left (\frac{z}{2\pi} \right ) + \frac{1}{12z} - \frac{1}{360z^3} +\frac{1}{1260 z^5}
en |z| → ∞ amb constant |arg(z)| < π.

Els coeficients dels termes amb k > 1 de zk + 1 en l'últim desenvolupament són simplement

\frac{B_k}{k(k-1)}

on Bk són els nombres de Bernoulli.

Propietats[modifica | modifica el codi]

El teorema de Bohr-Mollerup estableix que, entre totes les funcions que s'estenen les funcions factorials als nombres reals positius, només la funció gamma és log-convexa, és a dir, el seu logaritme natural és convex en l'eix real positiu.

Logaritme de la funció Γ(z)

D'alguna manera, la funció ln(Γ) és la forma més natural; que fa que alguns dels atributs intrínsecs de la funció més clara. Un exemple notable és la sèrie de Taylor de ln(Γ) en 1:

\ln \Gamma(1+z)= -\gamma z +\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k} \, (-z)^{k}\qquad \forall\; |z| < 1

amb ζ(k) denotant la funció zeta de Riemann en k.

Per tant, utilitzant la següent propietat:

\zeta(s) \Gamma(s) = \int_0^\infty \frac{t^{s}}{e^t-1} \; \frac{dt}{t}

podem trobar la representació integral de la funció ln(Γ):

\ln \Gamma(1+z)= -\gamma z + \int_0^\infty \frac{e^{-zt}-1+zt}{t(e^t -1)} dt

o, establint z = 1 i calculant γ:

\ln \Gamma(1+z)= \int_0^\infty \frac{e^{-zt}-ze^{-t}-1+z}{t(e^t -1)} dt

Integració sobre log-gamma[modifica | modifica el codi]

La integral z
0
ln(Γ(x)) dx
es pot expressar en termes de la funció G-Barnes:[Nota 4][6][7]

\int_{0}^{z} \ln \Gamma(x)  \   dx = \frac{z}{2}  \ln (2 \pi) + \frac{z(1-z)}{2} +  z \ln \Gamma(z) - \ln G(z+1)

on Re(z) > −1.

També es pot escriure en termes de la funció zeta d'Hurwitz:[8][9]

\int_{0}^{z} \ln \Gamma(x)  \ dx = \frac{z}{2} \ln(2 \pi) + \frac{z(1-z)}{2} - \zeta^{'}(-1) + \zeta^{'}(-1,z) .

Aproximacions[modifica | modifica el codi]

Els valors complexos de la funció gamma es poden calcular numèricament amb precisió arbitrària usant l'aproximació de Stirling, l'aproximació de Lanczos o l'aproximació de Spouge.

La funció gamma es pot calcular amb precisió fixa per a Re(z) ∈ [1,2] mitjançant l'aplicació de la integració per parts de la integral d'Euler. Per a qualsevol nombre positiu x la funció gamma es pot escriure

\begin{align}
\Gamma(z) &= \int_0^x e^{-t} t^{z}\, \frac{dt}{t} + \int_x^\infty e^{-t} t^{z}\, \frac{dt}{t} \\
&= x^z e^{-x} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{z(z+1) \cdots (z+n)} + \int_x^\infty e^{-t} t^{z}\, \frac{dt}{t}.
\end{align}

Quan Re(z) ∈ [1,2] i x ≥ 1, el valor absolut de l'última integral és menor que (x + 1)ex. Per a triar una gran x suficient, aquesta última expressió es pot fer més petita que 2N per a qualsevol valor N desitjat. Per tant, la funció gamma es pot avaluar a N parts de precisió amb la sèrie anterior.

L'únic algorisme ràpid per al càlcul de la funció gamma d'Euler per a qualsevol argument algebraic (incloent el racional) va ser construït per E.A. Karatsuba.[10][11][12]

Per arguments que són múltiples sencers d' 1/24, la funció gamma també es pot avaluar de forma ràpida utilitzant iteracions amb mitjanes aritmètiques-geomètriques (veure valors particulars de la funció gamma).

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Obrint una pàgina a l'atzar en una taula avançada de fórmules, és més probable de situar la funció gamma com a una funció trigonomètrica. Un autor descriu la funció gamma com «es podria dir que és la funció especial més comú, o la menys especial d'elles. Les altres funcions transcendents [...] es diuen especials, perquè es podrien evitar algunes d'elles de mantenir-se allunyades de molts temes matemàtics especialitzats. D'altra banda, la funció gamma y = Γ(x) és més difícil d'evitar.»[13]

Els problemes d'integració[modifica | modifica el codi]

La funció gamma troba aplicacions en àrees tan diverses com la física quàntica, l'astrofísica i la dinàmica de fluids [14] La distribució gamma, que es formula en termes de la funció gamma, s'utilitza en les estadístiques per modelar una àmplia gamma de processos ; per exemple, el temps entre les ocurrències dels terratrèmols.[15]

La raó principal de la utilitat funció gamma en aquests contextos és la prevalença d'expressions del tipus f(t) eg(t) que descriuen els processos que decauen exponencialment en el temps o en l'espai. Les integrals de tals expressions de tant en tant es poden resoldre en termes de la funció gamma quan no hi ha una solució primària. Per exemple, si f és una funció de potència i g és una funció lineal, un simple canvi de variables dóna l'avaluació

\int_0^\infty t^b e^{-at} \,dt = \frac{\Gamma(b+1)}{a^{b+1}}.

El fet que la integració es porta a terme al llarg de tot l'eix real positiu podria significar que la funció gamma descriu l'acumulació d'un procés depenent del temps que continua indefinidament, o el valor podria ser el total d'una distribució en un espai infinit.

Per descomptat, és freqüentment útil prendre límits d'integració diferents de 0 i per a descriure l'acumulació d'un procés finit, en aquest cas la funció gamma comuna ja no és una solució; la solució es diu funció gamma incompleta (la funció gamma ordinària, obtinguda mitjançant la integració en tota l'eix real positiu, de vegades diu funció gamma completa per a diferenciar).

Una categoria important de les funcions de forma exponencial decreixent són les funcions gaussianes

ae^{-\frac{(x-b)^2}{c^2}}

i les seves integrals, com ara la funció d'error. Hi ha moltes interrelacions entre aquestes funcions i la funció gamma; en particular \sqrt{\pi}, que s'obté mitjançant l'avaluació de Γ(1/2), és el mateix que es troba en el factor de normalització de la funció d'error i de la distribució normal.

Les integrals que hem discutit fins ara impliquen funcions transcendentals, però la funció gamma també sorgeix de les integrals de funcions purament algebraiques. En particular, les longituds d'arc de l'el·lipse i de la lemniscata, que són corbes definides per equacions algebraiques, estan donades per les integrals el·líptiques que, en casos especials poden ser avaluades en termes de la funció gamma. La funció gamma també es pot utilitzar per a calcular el volum i la superfície de n-esferes.

Un altre cas especial important és la de la funció beta

\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

Càlcul de productes[modifica | modifica el codi]

La capacitat de la funció gamma de generalitzar productes factorials porta immediatament a aplicacions en moltes àrees de les matemàtiques; en combinatòria, i per extensió en àrees com la teoria de la probabilitat i el càlcul de les sèries de potències. Moltes expressions que continguin els productes de nombres enters successius es poden escriure com a una combinació de factorials; l'exemple més important pot ser la del coeficient binomial.

{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.

L'exemple de coeficients binomials es motiva perque les propietats de la funció gamma quan s'estén als nombres negatius naturals. Un coeficient binomial dóna el nombre de formes de triar k elements d'un conjunt de n elements; si k > n, no és possible. Si k > n, ((nk)! és el factorial d'un enter negatiu i per tant infinit si utilitzem la definició de la funció gamma de factorials; dividint per infinit dóna el valor esperat de 0.

Podem reemplaçar el factorial per una funció gamma per a estendre aquesta fórmula als nombres complexos. En general, això funciona per a qualsevol producte en el qual cada factor és una funció racional de l'índex variable, al factoritzar la funció racional en expressions lineals. Si P i Q són polinomis mònics de grau m i n amb les respectives arrels p1, …, pm i q1, …, qn, tenim

\prod_{i=a}^b \frac{P(i)}{Q(i)} = \left( \prod_{j=1}^m \frac{\Gamma(b-p_j+1)}{\Gamma(a-p_j)} \right) \left( \prod_{k=1}^n \frac{\Gamma(a-q_k)}{\Gamma(b-q_k+1)} \right).

Si tenim una manera de calcular la funció gamma numèricament, és molt fàcil de calcular els valors numèrics d'aquests productes. El nombre de funcions gamma en el costat dret depèn només del grau dels polinomis, per la qual cosa no importa si ba és igual a 5 o 105. D'altra banda, a causa dels pols de la funció gamma, l'equació també es porta a terme (en el sentit d'obtenir límits) quan el producte de l'esquerra conté zeros o pols.

Mitjançant l'adopció de límits, determinats productes racionals amb infinits factors també poden ser avaluats en termes de la funció gamma. A causa del teorema de factorització de Weierstrass, les funcions analítiques es poden escriure com a productes infinits, i aquests de vegades poden ser representats com a productes finits o quocients de la funció gamma. A partir d'aquesta fórmula, la funció exponencial, així com totes les funcions trigonomètriques i funcions hiperbòliques es poden expressar en termes de la funció gamma.

Moltes funcions, incloent la sèrie hipergeomètrica i els casos especials de la mateixa, pot ser representat per mitjà d'integrals de contorn complexes de productes i quocients de la funció gamma, anomenades integrals Mellin-Barnes.

Càlcul fraccionari[modifica | modifica el codi]

Article principal: Càlcul fraccionari

La n-èsima derivada de ax^b (on n és un nombre natural) es pot veure de la següent manera:

\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots\left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}=\frac{b!}{\left(b-n\right)!}ax^{b-n}

com

n!=\Gamma(n+1)

llavors

\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(ax^{b}\right)=\frac{\Gamma\left(b+1\right)}{\Gamma\left(b-n+1\right)}ax^{b-n}

on n pot ser qualsevol nombre on gamma pot estar definit o es pugui definir mitjançant límits.

D'aquesta manera es pot calcular per exemple, la 1/2 derivada de x, de x^2 i fins i tot d'una constantc=cx^0:

\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\left(x\right)=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\pi}}
\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\left(x^{2}\right)=\frac{8\sqrt{x^{3}}}{3\sqrt{\pi}}
\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\left(c\right)=\frac{c}{\sqrt{\pi}\sqrt{x}}

La teoria analítica de nombres[modifica | modifica el codi]

Una aplicació elegant i profunda de la funció gamma és en l'estudi de la funció zeta de Riemann. Una propietat fonamental de la funció zeta de Riemann és la seva equació funcional:

\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)\pi^{-\frac{s}{2}} = \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta(1-s)\pi^{-\frac{1-s}{2}}.

Entre altres coses, això proporciona una manera explícita per a la continuació analítica de la funció zeta d'una funció meromórfica en el pla complex i condueix a una prova immediata de que la funció zeta té un nombre infinit de zeros anomenats «trivials» en la recta real. Borwein va anomenar a aquesta fórmula «una de les més belles troballes en les matemàtiques».[16] Un altre defensor d'aquest títol podria ser

\zeta(s) \; \Gamma(s) = \int_0^\infty \frac{t^{s}}{e^t-1} \; \frac{dt}{t}.

Totes dues fórmules van ser derivades per Bernhard Riemann en la seva obra escrita en 1859 «Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe» (sobre els nombres primers per sota d'un determinat tamany), una de les fites en el desenvolupament de la teoria analítica de nombres (la branca de les matemàtiques que estudia els nombres primers utilitzant les eines d'anàlisi matemàtica). Els nombres factorials, considerats com a objectes discrets, són en concepte importants en la teoria de nombres clàssica, ja que contenen molts factors primers, però Riemann va trobar un ús per a la seva extensió contínua que podria dir-se que va resultar ser encara més important.

Història[modifica | modifica el codi]

The gamma function has caught the interest of some of the most prominent mathematicians of all time. Its history, notably documented by Philip J. Davis in an article that won him the 1963 Chauvenet Prize, reflects many of the major developments within mathematics since the 18th century. In the words of Davis, "each generation has found something of interest to say about the gamma function. Perhaps the next generation will also."[17]

Segle XVIII: Euler i Stirling[modifica | modifica el codi]

Daniel Bernoulli's letter to Goldbach, 1729-10-06

The problem of extending the factorial to non-integer arguments was apparently first considered by Daniel Bernoulli and Christian Goldbach in the 1720s, and was solved at the end of the same decade by Leonhard Euler. Euler gave two different definitions: the first was not his integral but an infinite product,

n! = \prod_{k=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{k}\right)^n}{1+\frac{n}{k}}\,,

of which he informed Goldbach in a letter dated October 13, 1729. He wrote to Goldbach again on January 8, 1730, to announce his discovery of the integral representation

n!=\int_{0}^{1}(-\ln s)^{n}\, ds\,,

which is valid for n > 0. By the change of variables t = −ln s, this becomes the familiar Euler integral. Euler published his results in the paper "De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt" ("On transcendental progressions, that is, those whose general terms cannot be given algebraically"), submitted to the St. Petersburg Academy on November 28, 1729.[18] Euler further discovered some of the gamma function's important functional properties, including the reflection formula.

James Stirling, a contemporary of Euler, also attempted to find a continuous expression for the factorial and came up with what is now known as Stirling's formula. Although Stirling's formula gives a good estimate of n!, also for non-integers, it does not provide the exact value. Extensions of his formula that correct the error were given by Stirling himself and by Jacques Philippe Marie Binet.

Segle XIX: Gauss, Weierstrass i Legendre[modifica | modifica el codi]

De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraicae dari nequeunt
The first page of Euler's paper

Carl Friedrich Gauss rewrote Euler's product as

\Gamma(z) = \lim_{m\to\infty}\frac{m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+m)}

and used this formula to discover new properties of the gamma function. Although Euler was a pioneer in the theory of complex variables, he does not appear to have considered the factorial of a complex number, as instead Gauss first did.[19] Gauss also proved the multiplication theorem of the gamma function and investigated the connection between the gamma function and elliptic integrals.

Karl Weierstrass further established the role of the gamma function in complex analysis, starting from yet another product representation,

\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{k=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{k}\right)^{-1} e^{\frac{z}{k}},

where γ is the Euler–Mascheroni constant. Weierstrass originally wrote his product as one for 1/Γ, in which case it is taken over the function's zeros rather than its poles. Inspired by this result, he proved what is known as the Weierstrass factorization theorem—that any entire function can be written as a product over its zeros in the complex plane; a generalization of the fundamental theorem of algebra.

The name gamma function and the symbol Γ were introduced by Adrien-Marie Legendre around 1811; Legendre also rewrote Euler's integral definition in its modern form. Although the symbol is an upper-case Greek gamma, there is no accepted standard for whether the function name should be written "gamma function" or "Gamma function" (some authors simply write "Γ-function"). The alternative "pi function" notation Π(z) = z! due to Gauss is sometimes encountered in older literature, but Legendre's notation is dominant in modern works.

It is justified to ask why we distinguish between the "ordinary factorial" and the gamma function by using distinct symbols, and particularly why the gamma function should be normalized to Γ(n + 1) = n! instead of simply using "Γ(n) = n!". Consider that the notation for exponents, xn, has been generalized from integers to complex numbers xz without any change. Legendre's motivation for the normalization does not appear to be known, and has been criticized as cumbersome by some (the 20th-century mathematician Cornelius Lanczos, for example, called it "void of any rationality" and would instead use z!).[20] Legendre's normalization does simplify a few formulae, but complicates most others. From a modern point of view, the Legendre normalization of the Gamma function is the integral of the additive character ex against the multiplicative character xz with respect to the Haar measure dx/x on the Lie group R+. Thus this normalization makes it clearer that the gamma function is a continuous analogue of a Gauss sum.

Segles XIX – XX: la caracterització de la funció gamma[modifica | modifica el codi]

It is somewhat problematic that a large number of definitions have been given for the gamma function. Although they describe the same function, it is not entirely straightforward to prove the equivalence. Stirling never proved that his extended formula corresponds exactly to Euler's gamma function; a proof was first given by Charles Hermite in 1900.[21] Instead of finding a specialized proof for each formula, it would be desirable to have a general method of identifying the gamma function.

One way to prove would be to find a differential equation that characterizes the gamma function. Most special functions in applied mathematics arise as solutions to differential equations, whose solutions are unique. However, the gamma function does not appear to satisfy any simple differential equation. Otto Hölder proved in 1887 that the gamma function at least does not satisfy any algebraic differential equation by showing that a solution to such an equation could not satisfy the gamma function's recurrence formula, making it a transcendentally transcendental function. This result is known as Hölder's theorem.

A definite and generally applicable characterization of the gamma function was not given until 1922. Harald Bohr and Johannes Mollerup then proved what is known as the Bohr–Mollerup theorem: that the gamma function is the unique solution to the factorial recurrence relation that is positive and logarithmically convex for positive z and whose value at 1 is 1 (a function is logarithmically convex if its logarithm is convex).

The Bohr–Mollerup theorem is useful because it is relatively easy to prove logarithmic convexity for any of the different formulas used to define the gamma function. Taking things further, instead of defining the gamma function by any particular formula, we can choose the conditions of the Bohr–Mollerup theorem as the definition, and then pick any formula we like that satisfies the conditions as a starting point for studying the gamma function. This approach was used by the Bourbaki group.

Taules de referència i programari[modifica | modifica el codi]

Although the gamma function can be calculated virtually as easily as any mathematically simpler function with a modern computer—even with a programmable pocket calculator—this was of course not always the case. Until the mid-20th century, mathematicians relied on hand-made tables; in the case of the gamma function, notably a table computed by Gauss in 1813 and one computed by Legendre in 1825.

A hand-drawn graph of the absolute value of the complex gamma function, from Tables of Higher Functions by Jahnke and Emde.

Tables of complex values of the gamma function, as well as hand-drawn graphs, were given in Tables of Higher Functions by Jahnke and Emde, first published in Germany in 1909. According to Michael Berry, "the publication in J&E of a three-dimensional graph showing the poles of the gamma function in the complex plane acquired an almost iconic status."[22]

There was in fact little practical need for anything but real values of the gamma function until the 1930s, when applications for the complex gamma function were discovered in theoretical physics. As electronic computers became available for the production of tables in the 1950s, several extensive tables for the complex gamma function were published to meet the demand, including a table accurate to 12 decimal places from the U.S. National Bureau of Standards.[17]

Abramowitz and Stegun became the standard reference for this and many other special functions after its publication in 1964.

Double-precision floating-point implementations of the gamma function and its logarithm are now available in most scientific computing software and special functions libraries, for example TK Solver, Matlab, GNU Octave, and the GNU Scientific Library. The gamma function was also added to the C standard library (math.h). Arbitrary-precision implementations are available in most computer algebra systems, such as Mathematica and Maple. PARI/GP, MPFR and MPFUN contain free arbitrary-precision implementations.

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. La notació  \scriptstyle \Gamma(z)\,\! va ser ideada per Adrien-Marie Legendre
  2. Això es pot derivar diferenciant la forma integral de la funció gamma pel que fa a x, i l'ús de la tècnica de la diferenciació sota el signe integral.
  3. Això es pot veure mitjançant el desenvolupament de exp(-t)
  4. Vegeu la funció G-Barnes per a provar.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.
  2. Waldschmidt, M. (2006). "Transcendence of Periods: The State of the Art". Pure and Applied Mathematics Quarterly, Volume 2, Number 2, 435—463 (PDF copy published by the author)
  3. Harry Bateman and Arthur Erdélyi Higher Transcendental Functions [in 3 volumes]. Mc Graw-Hill Book Company, 1955.
  4. H.M. Srivastava and J. Choi Series Associated with the Zeta and Related Functions. Kluwer Academic Publishers. The Netherlands, 2001
  5. Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. PDF
  6. "W. P. Alexejewsky, Ueber eine Classe von Funktionen, die der Gammafunktion analog sind, Leipzig Weidmanncshe Buchhandluns,46, (1894), 268-275"
  7. "E. W. Barnes, The theory of the G-function, Quart. J. Math., 31,(1899), 264-314"
  8. Victor S. Adamchik, Polygamma functions of negative order,Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 100, Issue 2, 21 December 1998, Pages 191–199, doi:10.1016/S0377-0427(98)00192-7
  9. R.W. Gosper, \int_{n/4}^{m/6} \log F(z)\text{d}z., In special functions, q-series and related topics, Amer.Math.Soc. 14 (1997).
  10. E.A. Karatsuba, Fast evaluation of transcendental functions. Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4, pp.339-360 (1991).
  11. E.A. Karatsuba, On a new method for fast evaluation of transcendental functions. Russ. Math. Surv. Vol.46, No.2, pp.246-247 (1991).
  12. E.A. Karatsuba "Fast Algorithms and the FEE Method".
  13. Michon, G. P. "Trigonometry and Basic Functions". Numericana. Retrieved May 5, 2007.
  14. Chaudry, M. A. & Zubair, S. M. (2001). On A Class of Incomplete Gamma Functions with Applications. p. 37
  15. Rice, J. A. (1995). Mathematical Statistics and Data Analysis (Second Edition). p. 52–53
  16. Borwein, J., Bailey, D. H. & Girgensohn, R.. Experimentation in Mathematics. A. K. Peters, 2003, p. 133. ISBN 1-56881-136-5. 
  17. 17,0 17,1 Davis, P. J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function", The American Mathematical Monthly, Vol. 66, No. 10 (Dec., 1959), pp. 849–869 [1]
  18. Euler's paper was published in Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, 36–57. See E19 -- De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt, from The Euler Archive, which includes a scanned copy of the original article. An English translation by S. Langton is also available.
  19. Remmert, R., Kay, L. D. (translator). Classical Topics in Complex Function Theory. Springer, 2006. ISBN 0-387-98221-3. 
  20. Lanczos, C. (1964). "A precision approximation of the gamma function." J. SIAM Numer. Anal. Ser. B, Vol. 1.
  21. Knuth, D. E.. The Art of Computer Programming, volume 1 (Fundamental Algorithms). Addison-Wesley, 1997. 
  22. Berry, M. "Why are special functions special?". Physics Today, April 2001

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6)
  • G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special Functions, Cambridge University Press, 2001. ISBN 978-0-521-78988-2. Chapter one, covering the gamma and beta functions, is highly readable and definitive.
  • Emil Artin, "The Gamma Function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
  • Birkhoff, George D.. «Note on the gamma function». Bull. Amer. Math. Soc., 20, 1913, pàg. 1–10. DOI: 10.1090/s0002-9904-1913-02429-7.
  • P. E. Böhmer, ´´Differenzengleichungen und bestimmte Integrale´´, Köhler Verlag, Leipzig, 1939.
  • Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," American Mathematical Monthly 66, 849-869 (1959)
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP. «Section 6.1. Gamma Function». A: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd. New York: Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88068-8. 
  • O. R. Rocktaeschel, ´´Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument``, University of Dresden, Dresden, 1922.
  • Nico M. Temme, "Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics", John Wiley & Sons, New York, ISBN 0-471-11313-1,1996.
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press (1927; reprinted 1996) ISBN 978-0-521-58807-2

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Funció gamma Modifica l'enllaç a Wikidata