Mitjana aritmètico-geomètrica

En matemàtiques, la mitjana aritmètico-geomètrica (AGM) de dos nombres reals positius x i y es defineix tal com segueix.

Primer calculeu la mitjana aritmètica de x i y i digueu-ne a₁. Després calculeu la mitjana geomètrica de x i y i digueu-ne g₁; això és l'arrel quadrada del producte xy:

a_{1}={\frac {x+y}{2}}

g_{1}={\sqrt {xy}}

Llavors itereu l'operació amb a₁ en lloc de x i g₁ en lloc de y. D'aquesta forma es defineixen dues successions (a_n) i (g_n):

a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}

g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}.

Aquestes dues successions convergeixen al mateix nombre, el qual és la mitjana aritmètico-geomètrica de x i y; i s'escriu M(x, y), o de vegades agm(x, y).

Exemple

Per a trobar la mitjana aritmètico-geomètrica de a₀ = 24 i g₀ = 6, primer es calculen les seves mitjanes aritmètica i geomètrica:

a_{1}={\frac {24+6}{2}}=15,

g_{1}={\sqrt {24\times 6}}=12,

I llavors s'itera:

a_{2}={\frac {15+12}{2}}=13.5,

g_{2}={\sqrt {15\times 12}}=13.41640786500\dots

etc.

Les primeres quatre iteracions donen els següents resultats:

n	a_n	g_n
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.41640786500...
3	13.45820393250...	13.45813903099...
4	13.45817148175...	13.45817148171...

La mitjana aritmètico-geomètrica de 24 i 6 és el límit comú d'aquestes dues successions que és aproximadament 13.45817148173.

Propietats

M(x, y) és un nombre entre la mitjana geomètrica i l'aritmètica de x i y; en particular està entre x i y.

Si r > 0, llavors M(rx, ry) = r M(x, y).

Hi ha una expressió que permet calcular la M(x,y) sense haver de trobar el límit d'una sèrie:

\mathrm {M} (x,y)={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}

On K(x) és la integral el·líptica completa de primera classe.

Del recíproc de la mitjana aritmètico-geomètrica d'1 i l'arrel quadrada de 2 se'n diu la constant de Gauss.

{\frac {1}{\mathrm {M} (1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots

En honor de Carl Friedrich Gauss.

La mitjana geomètrico-harmònica es pot calcular emprant un mètode anàleg, a base de fer servir successions de mitjanes geomètriques i harmòniques. També es pot definir de forma similar la mitjana aritmètico-harmònica, però porta al mateix valor que la mitjana geomètrica.

Implementació en Python

El següent codi exemple en Python calcula la mitjana aritmètico-geomètrica de dos nombres reals positius:

from math import sqrt

def avg(a, b, delta=None):
 if None==delta:
 delta=(a+b)/2*1E-10
 if(abs(b-a)>delta):
 return avg((a+b)/2.0, sqrt(a*b), delta)
 else:
 return (a+b)/2.0

Vegeu també

Referències

Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X MR 1641658