Desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, es coneix com a desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica aquella desigualtat que estableix que la mitjana aritmètica d'un conjunt de nombres reals positius és major o igual que la mitjana geomètrica del mateix conjunt.

Mitjana aritmètica i mitjana geomètrica[modifica | modifica el codi]

La mitjana aritmètica d'un conjunt , és igual a la suma dividida pel nombre total d'elements,

La mitjana geomètrica d'un conjunt , és igual a l'arrel n-éssima del producte de tots ells.

La desigualtat[modifica | modifica el codi]

Siga

,

Es compleix la igualtat si i només si

O sigui, només són iguals la mitjana aritmètica i la mitjana geomètrica d'un conjunt de nombres positius si tots els nombres són iguals.

Demostració per inducció[modifica | modifica el codi]

Per a demostrar la desigualtat MA-MG, es desenvolupara pel mètode d'inducció matemàtica, demostrant que la MA-MG és certa per a 2 elements, després generalitzant-lo per a 2n elements i demostrant que si certa per a n és certa per a n+1 elements.

Siga , un conjunt de n elements,

Procedim a considerar el primer cas en què n=2

Quedant així demostrat per a n=2, després es demostra que si és certa per a n=2 és certa per a 2n elements.

Seguint la hipòtesi,

Se seguix que,

Sent açò igual a,

Quedant així demostrat que si és cert per a 2 elements és cert per a 2n elements.

Ara procedim a demostrar que si és certa per a n elements és certa per a n-1 elements,

Sea y

Es considera la desigualtat de tots els elements esmentats,

Fent arrel n-1-èssima se seguix,

Quedant així demostrat pel mètode inductiu, la veracitat de la desigualtat MA-MG.

Q.E.D.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]