Constant de Gauss

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

En matemàtiques, la constant de Gauss, anotada G, és una constant que es defineix com el nombre invers de la mitjana aritmètico-geomètrica entre 1 i l'arrel quadrada de 2.


Propietats[modifica]

Valor[modifica]

El seu valor aproximat és:

[1]

i la seva fracció contínua és:

[2]

Relació amb altres constants[modifica]

La constant de Gauss pot ser utilitzada en la definició de les constants de la lemniscata, sent la primera:

i la segona:

que intervenen en el càlcul de la longitud d'arc d'una lemniscata.

Altres fórmules[modifica]

Aquesta constant rep el seu del matemàtic alemany Carl Friedrich Gauss, que va descobrir el 1799 la identitat següent:

sigui:

on és la funció Beta d'Euler, definida com:


La constant de Gauss també pot ser expressada mitjançant la funció theta de Jacobi:

Una sèrie ràpidament convergent a la constant de Gauss és la següent:

La constant també ve donada pel producte infinit:

També apareix en el càlcul de les integrals definides:

Transcendència[modifica]

La constant de Gauss es pot utilitzar per expressar la funció gamma amb l'argument d'1/4:

I com que π i Γ(1/4) són algebraicament independents (demostrat el 1996 pel matemàtic rus Yuri Nesterenko),[3] amb Γ(1/4) irracional, tenim que la constant de Gauss és transcendental.

Referències[modifica]

  1. (successió A014549 a l'OEIS)
  2. (successió A053002 a l'OEIS)
  3. Nesterenko, Y. «Modular Functions and Transcendence Problems». Comptes rendus de l'Académie des sciences, 322, 10, 1996, pàg. 909–914.

Enllaços externs[modifica]