Continuació analítica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Introducció[modifica | modifica el codi]

Considerem un punt del pla complex i la sèrie de potències en :

Aquesta sèrie de potències convergeix en un cert cercle de centre i, doncs, hi defineix una funció holomorfa ; escrivem per a posar en evidència el punt de desenvolupament.

Considerem un punt i desenvolupem en sèrie de potències de :

Si és cas que el cercle de convergència d'aquesta darrera sèrie no sigui continugut en , hom ha de fet obtingut una coneixença més ampla de , mitjançant la definició:

Aquesta definició és bé posada, perquè .

Direm que l'extenció de a així obtinguda és una continuació analítica (o també un prolongament analític) de ; direm també que és una continuació analítica de i viceversa.

Per exemple, es pot senzillament veure que les dues sèries de potències i són cadascuna una continuació analítica de l'altra. Notem que totes dues representen la funció . Més en general, si és cas que , definida a priori dins un conjunt obert , es pugui restringir a un conjunt obert i successivament pugui ésser prolongada a un conjunt obert , direm que la nova funció obtenida es una continuació analítica de .

Les definicions bàsiques[modifica | modifica el codi]

Un element de funció 1holomorfa és un parell , on és un conjunt obert a connexió simple del pla complex, una funció holomorfa definida en , que pren valors en . Dos elements i són conectables si existeix una successió finita

,

tal que , i, per a tot ,


Direm que és una continuació analítica de (o de ). Direm també, si no hi ha possibilitat de confusió, que cada element és una continuació analítica de (o de ). Els elements es diran enllaçats.

Una continuació analítica al llarg d'un camí (per a senzillesa suposem que sigui a trets) és una continuació analítica tal que .

Cal sens dubte recordar que la continuació analítica al llarg d'un camí tancat no conserva pas, en general, els valors de la funció en un entorn del punt de partida: es tingui en compte, per exemple, la determinació de la funció 'arrel quadrada complexa', en un entorn de , tal que .

Es pot veure , en coordenades polars, com a l'aplicació que envia cap a , on indica l'operació d'arrel quadrada real positiva. Intu\"\i tivament, continuem al llarg de la circumferència unitat: després una volta compleda, és a dir un increment de igual a , obtenim un nou element de funció holomorfa en un entorn de , que ha redu\"\i t a meitat l'increment de de l'argument de .

Doncs, , és a dir . Naturalment, una altra volta de ens porta de bell nou a l'element de partida .

Es pot veure que el conjunt de les continuacions analítiques d'un mateix element forma de manera natural una superfície de Riemann, anomenada superfície de Riemann de l'element o també continuació analítica maximal, que existeix gràcies al Lema de Zorn.

Formació de fronteres naturals[modifica | modifica el codi]

Considerem un element de funció holomorfa : pot succeir que, per a cada restricció de (és a dir, i ) no existeixi cap continuació analítica de tal que . Si és cas, direm que és una frontera natural per a l'element . Considerem per exemple la série de potències

:

gràcies al teorema de Cauchy-Hadamard ella convergeix dins el disc , i, doncs, hi defineix una funció holomorfa . De més, llavors que al llarg de l'eix real. Puix que hom ha .

De la mateixa manera, , ja que llavors que al llarg de l'[[eix imaginari]]; de manera general, , per a tot nombre natural , ja que llavors que al llarg d'un radi del disc.

El conjunt dels punts de la forma és dens dins el cercle , ja que no admet cap continuació analítica a algun punt d'aquesta corba: ella és, doncs, una frontera natural.

Observem que pot tampoc ser continuada als punts de com a funció meromorfa, perquè, en aquest cas, s'anullaria en un conjunt amb un punt d'acumulació i seria, doncs, idènticament zero.