Funció analítica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Una funció analítica és una funció que pot ser expressada localment com una sèrie de potències enteres convergent. En anàlisi complexa, les funcions holomorfes són analítiques.

Definició[modifica | modifica el codi]

Formalment, la funció f és analítica sobre un conjunt obert D en la línia real si per cada x0 a D es pot escriure f (x) com

f(x)\, =\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n
= a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots

on els coeficients a0, a1, ... són nombres reals i la sèrie és convergent en un veïnat de x0.

Alternativament, una funció analítica és una funció contínuament diferenciable (smooth function), és a dir, una funció infinitament derivable com la sèrie de Taylor, que en cada punt x0 pertanyent al domini


T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

convergeix a ƒ(x) per x en un veïnat de x0. El conjunt de totes les funcions analítiques reals pertanyents a un conjunt donat D es denota generalment com Cω(D).

Una funció ƒ definida en un subconjunt qualsevol de la recta real, serà analítica real al punt x si existeix un veïnat D de x al que ƒ és analítica real.

La definició de funció analítica complexa es pot obtenir substituint real amb complexa. Les funcions analítiques complexes es tracten a l'article dedicat a les funcions holomorfes.

Referències[modifica | modifica el codi]

  • John B. Conway, John B. Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag, 1978. ISBN 0-387-90328-3. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]