Equacions de Cauchy-Riemann

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Les equacions de Cauchy-Riemann caracteritzen les funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex entre les funcions diferenciables en sentit real: són condicions necessàries i suficients relatives a les derivades parcials d'una funció diferenciable en sentit real perquè sigui diferenciable en sentit complex.

Considerem aquí una funció d'una variable complexa, definida en un obert U de . Emprem les notacions següents:

  • la variable complexa es nota per , on x, y són reals
  • les parts real i imaginària de es noten respectivament per i , és a dir: , on són dues funcions reals de dues variables reals.

Les equacions de Cauchy-Riemann en es poden escriure sota les formes equivalents següents:

  • i

Funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex[modifica | modifica el codi]

Definició[modifica | modifica el codi]

Diem que la funció és diferenciable en sentit complex, o -diferenciable (o derivable) en un punt si existeix el límit (finit) , anomenat derivada de f en .

Fixem-nos que aquesta condició de -diferenciabilitat per a funcions de variable complexa és molt més restrictiva que l'equivalent per a funcions de variable real. L'origen d'això es troba en el fet que per a funcions de variable real per a la diferenciabilitat en un punt només cal exigir que existeixin i siguin iguals els límits per la dreta i per l'esquerra quan els increments Δx tendeixen a zero, ja que són les dues úniques possibilitats d'aproximar-se al punt. En canvi, en el pla complex hi ha infinites possibilitats (infinits camins) per aproximar-se a un punt determinat.

Un cas important[modifica | modifica el codi]

Es diu que una funció és holomorfa en un obert de si és -diferenciable en tot punt d'aquell obert.

Caracterització de les funcions diferenciables en sentit complex[modifica | modifica el codi]

Teorema[modifica | modifica el codi]

  • Les funcions -diferenciables en un punt (on són reals) son aquelles funcions
    • diferenciables en sentit real en
    • i que, a més a més, compleixen les equacions de Cauchy-Riemann en . Aquestes equacions es poden escriure sota les formes equivalents següents:
      • i
  • En aquest cas:
    • la diferencial de al punt és l'aplicació


Un cas important[modifica | modifica el codi]

La caracterització següent de les funcions holomorfes és una conseqüència immediata del teorema precedent, aplicat en cada punt.

Teorema: una funció és holomorfa en l'obert U de si i només si:

  1. és diferenciable en sentit real en tot punt de U,
  2. i compleix les equacions de Cauchy-Riemann en tot punt de U

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • La funció és (almenys) de classe en , per tant hi és -diferenciable; però no és -diferenciable en cap punt, perquè no compleix les equacions de Cauchy-Riemann en cap punt. En efecte, com que :
    • : per a tot , .
  • La funció és (almenys) de classe en , per tant hi és -diferenciable; és -diferenciable en 0 i només en aquest punt (no és holomorfa en cap obert: el conjunt dels seus punts de -diferenciabilitat té interior buit).
  • La funció és holomorfa en i per a tot , . En efecte, si i , quan . Es té , per tant:
    • (equacions de Cauchy-Riemann en z).

Un exemple on les derivades parcials no són contínues[modifica | modifica el codi]

Se sap que tota funció holomorfa en un obert té derivades parcials contínues en aquest obert (això no forma part de la definició; la continuïtat de les derivades parcials i àdhuc el caràcter infinitament diferenciable de la funció és una conseqüència de la teoria de Cauchy). Tanmateix, és possible que una funció diferenciable compleixi les equacions de Cauchy-Riemann en un conjunt no obert (per exemple en un únic punt) i que les seves derivades parcials no siguin contínues.